Questão 162 — ENEM 2025 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (planificação e área total de paralelepípedo com abas)
• ⚡ Nível: Difícil — exige montar o arranjo dos potes, deduzir as dimensões da caixa e somar áreas de peças com frações diferentes.
• 🎯 Tema/Habilidade: Área de superfície a partir de planificação; modelagem geométrica de embalagem (competência de resolver problema envolvendo grandezas e figuras espaciais).
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual expressão, em função de d, dá a área total de papelão de uma caixa que comporta 48 potes e tem tampa formada por 2 abas grandes (½ da face) e 2 abas pequenas (⅓ da face)?"
• Palavras-chave decisivas: 48 potes, altura = dobro do diâmetro, abas (½ e ⅓ da face superior)
• Armadilha típica: contar a face superior como uma tampa inteira (uma placa de 24 d²) em vez de somar as quatro abas sobrepostas; ou esquecer que a caixa tem fundo, mas não tem topo fechado por uma única peça.
• O que a resposta precisa demonstrar: dimensionar a caixa a partir do empacotamento e calcular fundo + 4 laterais + 4 abas.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Empacotamento eficiente: potes cilíndricos de diâmetro d ocupam, cada um, um "quadradinho" d × d na base. Assim, a base da caixa é um retângulo cujas medidas são múltiplos de d.
• Altura por camadas: cada pote tem altura 2d; camadas empilhadas somam a altura da caixa.
• Área total via planificação: somar a área de cada face plana da caixa. Aqui a caixa é fechada embaixo e nas laterais, e a tampa é feita de abas — logo somamos fundo + 4 paredes + as 4 abas (não uma tampa cheia).
• Fração de face: aba grande = ½ da face superior; aba pequena = ⅓ da face superior.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "capacidade para exatamente 48 potes" + a figura mostrando a camada de cima cheia → os potes formam um arranjo retangular; 48 = 24 potes por camada × 2 camadas, com a base 4 × 6 potes.
• Evidência 2: "altura mede o dobro do diâmetro" (altura do pote = 2d) → duas camadas empilhadas dão altura 2·(2d) = 4d.
• Síntese: base = 4d × 6d e altura = 4d. Com a caixa dimensionada, basta planificar: fundo, quatro paredes e as quatro abas da tampa.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Dimensões da caixa

Cada pote ocupa d × d de base. Precisamos de 48 potes. Empilhando em camadas de altura 2d cada, uma escolha compatível com a figura é 2 camadas de 24 potes, com os 24 potes de cada camada dispostos em 4 × 6.

• Base: 4d × 6d
• Altura: 2 camadas × 2d = 4d

Logo a caixa é um paralelepípedo 6d × 4d × 4d.

Subpasso 4.2 — Fundo e paredes laterais

• Fundo: 6d × 4d = 24 d²
• Paredes: são 4, duas a duas iguais.

- Duas paredes maiores: 2 × (6d × 4d) = 2 × 24 d² = 48 d²

- Duas paredes menores: 2 × (4d × 4d) = 2 × 16 d² = 32 d²

• Total das laterais = 48 + 32 = 80 d²

Subpasso 4.3 — As quatro abas da tampa

A face superior tem a mesma área do fundo: 6d × 4d = 24 d². As abas são frações dessa face.

• Duas abas grandes (½ cada): 2 × (½ × 24 d²) = 2 × 12 d² = 24 d²
• Duas abas pequenas (⅓ cada): 2 × (⅓ × 24 d²) = 2 × 8 d² = 16 d²
• Total das abas = 24 + 16 = 40 d²

Subpasso 4.4 — Área total e verificação

Área total = fundo + laterais + abas = 24 d² + 80 d² + 40 d² = 144 d².

Confronto com as alternativas: 144 d² corresponde ao Funcionário 4. ✔

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Funcionário 1 — 80 d²

❌ Incorreta: 80 d² é apenas a área das quatro paredes laterais. Esquece o fundo (24 d²) e todas as abas (40 d²).

B) Funcionário 2 — 104 d²

❌ Incorreta: soma parcial (por exemplo, laterais 80 d² + fundo 24 d² = 104 d²), sem incluir nenhuma aba da tampa.

C) Funcionário 3 — 128 d²

❌ Incorreta: contabiliza fundo + laterais + apenas parte das abas (80 + 24 + 24 = 128), esquecendo as duas abas pequenas (16 d²).

D) Funcionário 4 — 144 d²

✅ Correta: fundo (24) + laterais (80) + abas grandes (24) + abas pequenas (16) = 144 d². É a soma completa e coerente com a estrutura da caixa.

E) Funcionário 5 — 152 d²

❌ Incorreta: valor típico de quem soma o fundo, as laterais e a face superior inteira (24 + 80 + 24 = 128) e ainda erra nas abas, ou soma face cheia + abas em excesso. Trata a tampa como placa completa em vez de frações ½ e ⅓, superestimando o papelão.

🏆 Gabarito: D — a caixa 6d × 4d × 4d exige 24 d² (fundo) + 80 d² (4 paredes) + 40 d² (4 abas), totalizando exatamente 144 d².

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só o Funcionário 4 (144 d²) soma corretamente todas as peças da planificação com as abas como frações ½ e ⅓ da face superior.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora "área de embalagem" — dimensionar um sólido a partir de um empacotamento e depois calcular a superfície pela planificação, com pegadinhas nas peças que faltam ou sobram.
• Generalização: para área total de caixa, liste TODAS as faces reais (fundo, paredes, tampa/abas) e some uma a uma; quando houver abas, use a fração da face correspondente, nunca a face inteira.
• Dica de eliminação rápida: as laterais já valem 80 d² e ainda faltam fundo + abas, então a resposta é bem maior que 80 — corta A (80) na hora e desconfia de B e C, que são baixas demais para incluir todas as abas.
• Conexões: planificação de sólidos; volume e empacotamento de cilindros; proporção e frações aplicadas a áreas.