Mapa de questões · 2º dia
Questão 167 — ENEM 2025 PPLCaderno azul · 2º Dia
Um empresário pretende construir uma piscina no seu hotel fazenda. O gerente de uma empresa especializada apresentou cinco possíveis modelos de piscinas, todos com 2 m de profundidade:
• I: prisma triangular, com medidas das arestas da base iguais a 5 m, 12 m e 13 m;
• II: prisma triangular regular, com medida da aresta da base igual a 10 m;
• III: prisma quadrangular regular, com medida da aresta da base igual a 6 m;
• IV: prisma hexagonal regular, com medida da aresta da base igual a 6 m;
• V: cilindro circular reto, com medida do raio da base igual a 5 m.
O empresário escolherá o modelo de menor volume.
Use 1,7 como valor aproximado para √3 e 3 como valor aproximado para π.
O modelo a ser escolhido pelo empresário será o
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Geometria Espacial → volume de sólidos (prismas e cilindro) e áreas de polígonos
- ⚡ Nível: Médio — o cálculo de cada volume é simples, mas exige dominar cinco fórmulas de área de base sem errar nenhuma.
- 🎯 Tema/Habilidade: Comparação de volumes de prismas e cilindro / resolver situação-problema envolvendo grandezas geométricas (H15).
- 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Entre cinco sólidos de mesma altura (2 m), qual tem o MENOR volume?"
- Palavras-chave decisivas: menor volume, 2 m de profundidade (altura comum), regular (o que define as medidas da base).
- Armadilha típica: achar que "menor aresta" implica "menor volume" e comparar só os lados; ou esquecer que a altura é a mesma para todos, o que permite comparar apenas as ÁREAS de base.
- O que a resposta precisa demonstrar: cálculo correto da área de base de cada modelo, multiplicando por 2 m para obter o volume.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Volume de prisma/cilindro reto: V = A_base × altura. Como a altura é 2 m em todos, quem tiver a menor área de base terá o menor volume.
- Área do triângulo retângulo: os catetos são a base e a altura; A = (cateto₁ × cateto₂)/2. O terno 5-12-13 é pitagórico (5² + 12² = 13²), logo é retângulo.
- Áreas de polígonos regulares: triângulo equilátero de lado L → A = (√3/4)·L²; hexágono regular de lado L → A = 6 triângulos equiláteros = (3√3/2)·L²; quadrado → A = L²; círculo → A = π·r².
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: "todos com 2 m de profundidade" → a altura é constante; basta comparar áreas de base (o "×2" preserva a ordem).
- Evidência 2: "arestas da base iguais a 5 m, 12 m e 13 m" → triângulo pitagórico, o único não-regular, candidato natural à menor área.
- Síntese: calculo as cinco áreas de base com √3 ≈ 1,7 e π ≈ 3, multiplico por 2 e escolho o menor volume.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Modelo I (prisma triangular 5-12-13)
Como 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², o triângulo é retângulo de catetos 5 e 12.
A = (5 × 12)/2 = 30 m² → V = 30 × 2 = 60 m³.
Subpasso 4.2 — Modelos II a V
- II (triângulo equilátero, L = 10): A = (√3/4)·10² ≈ (1,7/4)·100 = 42,5 m² → V = 85 m³.
- III (quadrado, L = 6): A = 6² = 36 m² → V = 72 m³.
- IV (hexágono regular, L = 6): A = (3√3/2)·6² ≈ (3·1,7/2)·36 = 2,55·36 = 91,8 m² → V = 183,6 m³.
- V (cilindro, r = 5): A = π·r² ≈ 3·25 = 75 m² → V = 150 m³.
Subpasso 4.3 — Verificação
Ordenando os volumes: I = 60 < III = 72 < II = 85 < V = 150 < IV = 183,6 m³.
O menor é o Modelo I, com 60 m³. Isso corresponde à alternativa A.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) I.
✅ Correta: o prisma de base triangular retângula (catetos 5 e 12) tem área de base 30 m², a MENOR das cinco, gerando volume 60 m³.
B) II.
❌ Incorreta: o triângulo equilátero de lado 10 tem base ≈ 42,5 m² (V = 85 m³), maior que a do Modelo I; confunde quem compara só o número de lados.
C) III.
❌ Incorreta: o quadrado de lado 6 tem área 36 m² (V = 72 m³); é o segundo menor, mas ainda supera os 60 m³ do Modelo I.
D) IV.
❌ Incorreta: o hexágono equivale a 6 triângulos equiláteros, dando 91,8 m² de base (V = 183,6 m³) — na verdade o MAIOR volume, oposto do pedido.
E) V.
❌ Incorreta: o cilindro tem base 75 m² (V = 150 m³); é grande porque r = 5 já garante área considerável mesmo com π ≈ 3.
🏆 Gabarito: A — o Modelo I possui a menor área de base (30 m²) e, com a altura comum de 2 m, o menor volume (60 m³).
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: apenas o Modelo I chega a 60 m³; todos os demais passam de 70 m³, então A é a única resposta possível.
- Padrão de cobrança: o ENEM adora comparar sólidos de mesma altura para reduzir tudo à comparação de áreas de base — reconhecer isso economiza contas.
- Generalização: em sólidos de altura igual, o de menor volume é o de menor área de base; foque só nas bases.
- Dica de eliminação rápida: o hexágono (6 lados, L = 6) e o cilindro (r = 5) claramente têm bases grandes — descarte D e E de imediato e dispute só entre I, II e III.
- Conexões: ternos pitagóricos (5-12-13), área de polígonos regulares e volume de prismas/cilindros.
Comunidade Memorize · Grátis
Não perca nenhuma live, aula ou material.
Entre na comunidade do WhatsApp e receba os avisos de tudo que a equipe Memorize lança de graça — direto no seu celular.