Mapa de questões · 2º dia
Questão 150 — ENEM 2025 PPLCaderno azul · 2º Dia
O gerente de uma fábrica comparou a evolução das vendas de dois produtos similares, I e II, e percebeu que a quantidade mensal de unidades vendidas de um deles estava aumentando, enquanto a do outro estava diminuindo. Os resultados que levaram à essa conclusão estão registrados no quadro, que apresenta as quantidades de unidades vendidas de cada um desses produtos nos meses de abril a junho.
O gerente decidiu cessar a fabricação do produto II no mês seguinte àquele no qual a quantidade de unidades vendidas do produto I superasse a do produto II.
Considere que o padrão na variação da quantidade de unidades vendidas dos produtos I e II, mês a mês, se manteve para os meses subsequentes tal como no período representado no quadro.
Em qual mês o produto II parou de ser fabricado?
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressões Aritméticas (PA) e comparação de sequências / ponto de cruzamento
- ⚡ Nível: Médio — o conceito é simples, mas exige atenção ao "mês seguinte" e à leitura correta das razões na tabela.
- 🎯 Tema/Habilidade: Modelar variações constantes com PA e identificar quando uma sequência ultrapassa a outra (H22/H21 — resolver problema com dados em tabela).
- 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Em que mês cessa a fabricação do produto II, sabendo que isso ocorre no mês SEGUINTE àquele em que as vendas de I superam as de II?"
- Palavras-chave decisivas: superasse (I > II), mês seguinte (não o mês do cruzamento), padrão mantido (variação constante → PA).
- Armadilha típica: parar no mês em que I ultrapassa II e marcar esse mês, esquecendo do "mês seguinte".
- O que a resposta precisa demonstrar: projetar as duas sequências mês a mês até I > II e, então, avançar UM mês.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Progressão Aritmética (PA): sequência em que cada termo é obtido somando uma razão constante r. Aqui há duas PAs, uma crescente e uma decrescente.
- Razão (r): variação fixa mês a mês. Produto I cresce +10/mês; produto II decresce −20/mês.
- Ponto de cruzamento: mês em que a PA crescente iguala ou supera a decrescente; a diferença entre elas encolhe a cada passo.
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: Tabela → I = 80, 90, 100 (abr, mai, jun) → PA crescente de razão +10.
- Evidência 2: Tabela → II = 190, 170, 150 (abr, mai, jun) → PA decrescente de razão −20.
- Síntese: A cada mês a distância entre II e I diminui 10 + 20 = 30 unidades. Basta avançar as PAs até que I passe a ser maior e depois somar um mês.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Modelar as duas PAs
Tomando abril como mês inicial:
- Produto I: aₙ = 80 + 10·(n−1) → cresce +10 por mês.
- Produto II: bₙ = 190 − 20·(n−1) → decresce −20 por mês.
Subpasso 4.2 — Projetar mês a mês até I superar II
| Mês | Produto I | Produto II | I > II? |
|-----|-----------|------------|---------|
| Abril | 80 | 190 | não |
| Maio | 90 | 170 | não |
| Junho | 100 | 150 | não |
| Julho | 110 | 130 | não |
| Agosto | 120 | 110 | sim (120 > 110) |
Em agosto o produto I supera o produto II pela primeira vez.
Subpasso 4.3 — Verificação
A diferença II − I era: abril 110, maio 80, junho 50, julho 20, agosto −10. Ela cai exatamente 30 por mês, confirmando o padrão. O sinal fica negativo (I maior) a partir de agosto. O comando pede o mês SEGUINTE à superação → agosto + 1 = setembro. Confere com a alternativa D.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) Junho.
❌ Incorreta: em junho I = 100 e II = 150; I ainda está muito abaixo de II. Nenhuma condição foi atingida.
B) Julho.
❌ Incorreta: em julho I = 110 e II = 130; I continua menor que II. A superação ainda não ocorreu.
C) Agosto.
❌ Incorreta: agosto é justamente o mês em que I supera II (120 > 110), mas o enunciado manda cessar no mês SEGUINTE, não neste. Armadilha clássica.
D) Setembro.
✅ Correta: é o mês imediatamente após agosto, quando a condição "I > II" foi satisfeita. A fabricação de II cessa em setembro.
E) Outubro.
❌ Incorreta: avança dois meses após o cruzamento; ultrapassa o "mês seguinte" pedido.
🏆 Gabarito: D — I supera II em agosto (120 > 110); cessando a fabricação no mês seguinte, chega-se a setembro.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: o único mês que é simultaneamente posterior ao cruzamento (agosto) e imediatamente seguinte a ele é setembro (D).
- Padrão de cobrança: o ENEM adora "duas grandezas em sentidos opostos" (uma sobe, outra desce) e pergunta quando se cruzam — quase sempre resolvível estendendo a tabela.
- Generalização: quando duas PAs se aproximam, a diferença varia por |r₁| + |r₂| a cada passo; aqui 10 + 20 = 30 por mês, o que permite prever o cruzamento sem tabela inteira.
- Dica de eliminação rápida: em junho e julho (A e B) o produto I ainda é menor — elimine na hora. Sobram C, D, E; como o comando diz "mês seguinte", corte agosto (C) e outubro (E, longe demais).
- Conexões: progressões aritméticas, funções afins (retas que se interceptam) e leitura de tabelas.
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