Questão 156 — ENEM 2025 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Análise Combinatória → Permutação com repetição (anagramas) + Probabilidade clássica
• ⚡ Nível: Médio — a conta é curta, mas o erro no fatorial das letras repetidas derruba a maioria.
• 🎯 Tema/Habilidade: Contagem de anagramas com letras repetidas e cálculo de probabilidade como razão entre casos favoráveis e casos possíveis (H23/H24 — resolver situação-problema envolvendo contagem).
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual a probabilidade de Paulo acertar a senha em até 4 tentativas, sabendo que ela é um anagrama de DETETIVE começado por D?"
• Palavras-chave decisivas: permutações da palavra DETETIVE, iniciam pela letra D, até quatro tentativas sem repetir combinação.
• Armadilha típica: tratar as 8 letras como se fossem todas distintas (usar 7! = 5040) e esquecer que E aparece 3 vezes e T aparece 2 vezes; ou usar apenas 1 tentativa no numerador.
• O que a resposta precisa demonstrar: contar corretamente o total de senhas possíveis (casos possíveis) e reconhecer que 4 tentativas distintas são 4 casos favoráveis.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Permutação com repetição: o número de anagramas de uma palavra com n letras, onde uma letra se repete a vezes, outra b vezes etc., é P = n! / (a! · b! · ...). Dividimos pelos fatoriais porque trocar letras iguais entre si NÃO gera uma nova palavra.
• Fixar uma posição: exigir que a senha comece por D "congela" a 1ª casa; a contagem passa a valer só para as letras restantes.
• Probabilidade clássica: P = (nº de casos favoráveis) / (nº de casos possíveis), válida porque todas as senhas são igualmente prováveis de ser a correta.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "permutações da palavra DETETIVE que se iniciam pela letra D" → o espaço amostral não são todos os anagramas de DETETIVE, e sim apenas os que começam com D; a 1ª letra está fixada.
• Evidência 2: "faça até quatro tentativas... não digitará uma mesma combinação duas vezes" → são 4 tentativas distintas, ou seja, 4 senhas diferentes testadas — logo 4 chances favoráveis, não 1.
• Síntese: basta contar quantas senhas começam com D (casos possíveis) e dividir 4 por esse total.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Inventário das letras

A palavra DETETIVE tem 8 letras: D, E, T, E, T, I, V, E.

Contagem: E aparece 3 vezes, T aparece 2 vezes, e D, I, V aparecem 1 vez cada.

Subpasso 4.2 — Fixar o D e contar as demais

Como a senha começa obrigatoriamente por D, prendemos o D na 1ª casa e permutamos as 7 letras restantes: E, E, E, T, T, I, V.

Entre essas 7 sobram 3 letras E e 2 letras T, então usamos permutação com repetição:

P₇ = 7! / (3! × 2!) = 5040 / (6 × 2) = 5040 / 12 = 420.

Existem, portanto, 420 senhas possíveis que começam com D — este é o total de casos possíveis.

Subpasso 4.3 — Aplicar a probabilidade e verificar

Paulo faz 4 tentativas distintas, logo há 4 senhas favoráveis dentre as 420:

P = 4 / 420 = 1 / 105 ≈ 0,0095 (≈ 0,95%).

Comparando com as alternativas, 1/105 corresponde exatamente à letra A. Confere.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1/105

✅ Correta: resulta de 4 tentativas ÷ 420 senhas possíveis = 4/420, simplificado por 4, dá 1/105.

B) 1/420

❌ Incorreta: usa apenas 1 tentativa no numerador (1/420). Ignora que o enunciado garante 4 tentativas distintas sem bloqueio.

C) 1/840

❌ Incorreta: dobra indevidamente o denominador (840 = 2 × 420), erro típico de contar por 8! sem dividir corretamente ou de dividir só por 3! esquecendo, e depois "corrigir" errado. Não corresponde a 4/420.

D) 1/1 260

❌ Incorreta: aparece ao dividir 7!/2! = 2520 e depois manipular errado, ou 5040/4; nenhuma dessas contas representa o espaço amostral correto de 420.

E) 1/10 080

❌ Incorreta: vem de tratar as 8 letras como distintas (usar algo próximo de 8!·... ) ou de 5040 × 2; superdimensiona o total de senhas ao não dividir pelos fatoriais das letras repetidas.

🏆 Gabarito: A — há 420 senhas iniciadas por D e Paulo dispõe de 4 tentativas distintas, então P = 4/420 = 1/105.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas 4/420 = 1/105 combina a contagem correta com letras repetidas (÷ 3!·2!) e as 4 chances; é a única alternativa (A) compatível.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora anagramas de palavras com letras repetidas combinados com probabilidade ou com uma posição fixada (começa/termina por certa letra).
• Generalização: para anagramas com posições fixas, fixe primeiro as letras exigidas e aplique P = (nº de letras livres)! / (produto dos fatoriais das repetições) ao restante.
• Dica de eliminação rápida: calcule o denominador 420 e lembre que o numerador é o nº de tentativas (4). Se você achar 420, já corta imediatamente B (numerador 1) e desconfia de C/D/E, que "incham" o denominador.
• Conexões: permutação simples e circular; probabilidade condicional; princípio fundamental da contagem.