Questão 152 — ENEM 2025 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Análise Combinatória → princípio multiplicativo aplicado à geometria do cubo (contagem de pares ordenados sob restrição)
• ⚡ Nível: Médio — a conta é curta, mas exige identificar corretamente quantos vértices são "não adjacentes" e perceber que o deslocamento é orientado (tem origem e destino).
• 🎯 Tema/Habilidade: Contagem por princípio fundamental da contagem; interpretar uma estrutura geométrica (cubo) como um conjunto de posições e movimentos possíveis.
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantos deslocamentos distintos (origem → destino) existem, sabendo que a nave só vai de um vértice para um vértice NÃO adjacente?"
• Palavras-chave decisivas: não lhe seja adjacente, total de deslocamentos, distintos
• Armadilha típica: achar que o deslocamento de A para B é o mesmo que de B para A (não é — a nave parte de um vértice e chega em outro, então a ordem importa), ou contar como não adjacentes os 3 vértices ligados por aresta.
• O que a resposta precisa demonstrar: que cada um dos 8 vértices serve de origem e que, de cada um, há exatamente 4 destinos válidos.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Vértices de um cubo: um cubo tem 8 vértices. Cada vértice pode ser origem de um movimento.
• Adjacência no cubo: dois vértices são adjacentes quando estão ligados por uma aresta. De cada vértice saem 3 arestas, logo cada vértice tem 3 vizinhos adjacentes.
• Vértices não adjacentes: do total de 8, tirando o próprio vértice (1) e seus 3 adjacentes, sobram 8 − 1 − 3 = 4 vértices não adjacentes. São os 3 alcançados por diagonais de face e o 1 alcançado pela diagonal do cubo.
• Princípio multiplicativo: se há m origens e cada uma tem n destinos, o total de movimentos orientados é m × n.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "a nave só pode se deslocar para outro vértice que não lhe seja adjacente" → elimina os 3 vizinhos de aresta; restam 4 destinos por vértice.
• Evidência 2: a figura mostra o vértice V com setas (dashed) apontando para A e B, ambos alcançados por diagonais → confirma que os destinos são os vértices não ligados por aresta e que o movimento tem sentido (origem V → destino).
• Síntese: basta contar, para cada uma das 8 origens possíveis, os 4 destinos não adjacentes, e multiplicar.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Contar os destinos a partir de UM vértice

Fixe o vértice V. Os 3 vértices ligados a V por aresta são adjacentes e estão proibidos. Dos 7 vértices restantes (todos menos o próprio V), retiramos esses 3 adjacentes:

7 − 3 = 4 destinos válidos por vértice.

Geometricamente: 3 desses destinos estão na "diagonal de uma face" e 1 é o vértice diametralmente oposto (diagonal principal do cubo). É exatamente o que a figura ilustra com as setas para A e B.

Subpasso 4.2 — Aplicar a todas as origens (princípio multiplicativo)

Qualquer um dos 8 vértices pode ser a posição inicial da nave, e cada um oferece 4 destinos. Como o deslocamento é orientado (parte de um vértice específico), contamos pares ordenados:

Total = 8 × 4 = 32 deslocamentos distintos.

Subpasso 4.3 — Verificação

Repare que 32 corresponde a pares ordenados (V→A conta separado de A→V). Se a questão pedisse pares não ordenados (movimentos "de ida e volta" iguais), dividiríamos por 2 e obteríamos 16 — mas o enunciado e a figura deixam claro que a nave parte de um vértice e chega em outro, logo o sentido importa. O valor 32 bate com a alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 16.

❌ Incorreta: é o resultado 8 × 4 ÷ 2, ou seja, considerar V→A e A→V como um único deslocamento (pares não ordenados). O enunciado trata movimentos com sentido, então não se divide por 2.

B) 24.

❌ Incorreta: aparece se alguém contar 8 × 3, confundindo e usando os 3 vértices adjacentes (o oposto da regra) — ou 8 origens × 3 destinos por engano. Não corresponde ao número correto de destinos não adjacentes.

C) 26.

❌ Incorreta: não sai de nenhuma contagem coerente com o problema; é um distrator para quem soma/subtrai valores sem estrutura (por exemplo, mistura arestas e diagonais).

D) 32.

✅ Correta: 8 vértices de origem × 4 vértices não adjacentes de destino = 32 deslocamentos orientados distintos.

E) 56.

❌ Incorreta: é 8 × 7, ou seja, contar TODOS os outros vértices como destino, incluindo os 3 adjacentes proibidos. Ignora a restrição central da questão.

🏆 Gabarito: D — Há 8 vértices possíveis de partida e, de cada um, 4 vértices não adjacentes de chegada, resultando em 8 × 4 = 32 deslocamentos distintos.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a letra D respeita as duas condições simultaneamente — 8 origens e exatamente 4 destinos não adjacentes por origem.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora "vestir" o princípio multiplicativo com um contexto (jogo, cardápio, senhas, trajetos). O truque é traduzir o cenário em "número de escolhas em cada etapa" e multiplicar.
• Generalização: para movimentos orientados sob restrição, use origens × destinos válidos por origem. Se a ordem NÃO importasse, divida o resultado por 2.
• Dica de eliminação rápida: identifique que cada vértice tem 3 adjacentes → 4 não adjacentes. Isso já mata a E (56 = incluir adjacentes) e a B (24 = usar os adjacentes). Entre 16 e 32, pergunte "o movimento tem sentido?" — tem, logo 32.
• Conexões: teoria dos grafos (grafo de "não adjacência" do cubo), geometria espacial (diagonais de face e diagonal principal), arranjos simples.