Questão 159 — ENEM 2025 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade (eventos independentes) e Análise Combinatória (combinações simples)
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar duas probabilidades independentes e não confundir "escolher 1 cédula" com "escolher 2 moedas".
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de probabilidade de um evento composto por escolhas simultâneas em conjuntos distintos (H30 — resolver situação-problema envolvendo conhecimentos de probabilidade).
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Ao tirar às cegas 1 cédula e 2 moedas, qual a chance de o total dar exatamente R$ 10,75?"
• Palavras-chave decisivas: uma cédula, duas moedas, exatamente R$ 10,75
• Armadilha típica: achar que a retirada das moedas é "uma de cada vez com ordem" (arranjo) e dobrar o denominador, chegando a 1/48; ou considerar só a cédula e responder 1/4.
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar a ÚNICA combinação que soma 10,75 e multiplicar a probabilidade da cédula pela probabilidade do par de moedas.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Probabilidade clássica: P = casos favoráveis ÷ casos possíveis, quando todos os resultados são igualmente prováveis (retirada "sem olhar").
• Eventos independentes: a cédula sai de um grupo (8 cédulas) e as moedas de outro (4 moedas); a escolha de uma não altera a outra, logo P(A e B) = P(A) × P(B).
• Combinação simples C(n,k): como as 2 moedas são retiradas juntas, a ordem não importa; o número de pares possíveis é C(4,2) = 6.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "duas de R$ 10,00" e valores das cédulas (2, 5, 5, 10, 10, 20, 50, 50) → há 8 cédulas ao todo, das quais 2 são de R$ 10,00.
• Evidência 2: "quatro moedas: 0,10 / 0,25 / 0,50 / 1,00" → só existe 1 de cada; para somar 0,75 com duas moedas, o único par é 0,25 + 0,50.
• Síntese: R$ 10,75 = R$ 10,00 (cédula) + R$ 0,75 (moedas). A parte inteira só vem da cédula de 10 e a parte fracionária só do par {0,25; 0,50}. O problema vira o produto de duas probabilidades.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Decompor o valor R$ 10,75

Precisamos de cédula + 2 moedas = 10,75.

A única cédula que gera a parte inteira sem estourar é a de R$ 10,00.

Faltam então 0,75 usando exatamente duas moedas. Testando os pares:

0,10+0,25 = 0,35 · 0,10+0,50 = 0,60 · 0,10+1,00 = 1,10 · 0,25+0,50 = 0,75 ✓ · 0,25+1,00 = 1,25 · 0,50+1,00 = 1,50.

Logo o único par válido é {0,25 ; 0,50}.

Subpasso 4.2 — Probabilidade da cédula certa

Total de cédulas: 1+2+2+1+2 = 8. Cédulas de R$ 10,00: 2.

P(cédula de 10) = 2 ÷ 8 = 1/4.

Subpasso 4.3 — Probabilidade do par de moedas certo

São 4 moedas e retiram-se 2 juntas → número de pares possíveis:

C(4,2) = (4 × 3) ÷ (2 × 1) = 6.

Apenas 1 desses 6 pares é o {0,25 ; 0,50}.

P(par correto) = 1/6.

Subpasso 4.4 — Combinar os eventos (independentes)

P(total) = P(cédula) × P(moedas) = 1/4 × 1/6 = 1/24.

Subpasso 4.5 — Verificação

Conferindo o denominador de outra forma: cédula pode sair de 8 modos e o par de moedas de 6 modos → 8 × 6 = 48 resultados igualmente prováveis. Favoráveis: 2 cédulas de 10 × 1 par certo = 2. Então P = 2/48 = 1/24. Bate com o cálculo → alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1/48

❌ Incorreta: resulta de contar as 2 moedas como retirada ORDENADA (arranjo A(4,2)=12) ou de esquecer que há 2 cédulas de R$ 10,00, dividindo os favoráveis pela metade. Ignora que a ordem das moedas não importa.

B) 1/24

✅ Correta: 1/4 (cédula de 10) × 1/6 (par {0,25; 0,50} entre C(4,2)=6) = 1/24. Equivale a 2 casos favoráveis em 48 possíveis.

C) 1/16

❌ Incorreta: aparece ao usar 1/8 para a cédula (esquecendo que são 2 unidades de R$ 10) e 1/2 para as moedas, ou outra combinação sem base combinatória. Não corresponde a nenhuma contagem válida do espaço amostral.

D) 5/12

❌ Incorreta: valor alto demais para um evento tão específico; surge de somar probabilidades em vez de multiplicá-las ou de contar pares errados como favoráveis. Confunde "ou" com "e".

E) 1/4

❌ Incorreta: é apenas P(cédula de 10). Despreza totalmente a condição sobre as moedas, tratando o evento composto como se dependesse só da cédula.

🏆 Gabarito: B — a única combinação que dá R$ 10,75 é a cédula de R$ 10,00 (1/4) com o par de moedas {0,25; 0,50} (1/6), e o produto vale 1/24.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só há uma decomposição possível (10 + 0,50 + 0,25) e, multiplicando as chances independentes, o resultado é exatamente 1/24 — nenhuma outra letra reproduz essa conta.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora eventos compostos "e" em que você deve multiplicar probabilidades de sorteios feitos em conjuntos separados (cédulas × moedas).
• Generalização: para escolhas simultâneas de grupos distintos, calcule P de cada grupo isoladamente (usando C(n,k) quando não há ordem) e multiplique.
• Dica de eliminação rápida: perceba de cara que a resposta tem que ser bem menor que 1/4 (a cédula sozinha já é 1/4 e ainda falta acertar as moedas) — isso elimina D (5/12) e E (1/4) na hora.
• Conexões: combinações simples C(n,k) e probabilidade condicional / regra do produto.