Questão 145 — ENEM 2025 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade (regra de Laplace) + Inequação do 1º grau
• ⚡ Nível: Médio — a montagem é simples, mas exige cuidado ao perceber que as fichas adicionadas mudam também o total da urna.
• 🎯 Tema/Habilidade: Probabilidade em espaço equiprovável e modelagem por inequação (H24/H28 — avaliar propostas de intervenção usando conhecimento matemático).
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantas fichas brancas, no mínimo, devem ser somadas para que a chance de a primeira ficha ser branca passe de 50%?"
• Palavras-chave decisivas: acrescentará fichas brancas, superior a 50%, quantidade mínima.
• Armadilha típica: somar as novas brancas apenas ao numerador e esquecer que elas também entram no total da urna (denominador). Quem faz isso resolve (20+x)/100 > 1/2 e erra o valor.
• O que a resposta precisa demonstrar: montar a probabilidade com o novo total, resolver a inequação corretamente e escolher o menor inteiro que a satisfaz.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Regra de Laplace: em um espaço equiprovável, P(evento) = casos favoráveis ÷ casos possíveis. Aqui, P(branca) = (nº de brancas) ÷ (total de fichas).
• Efeito de adicionar fichas: ao inserir x fichas brancas, o numerador vira 20 + x e o total vira 100 + x. As duas quantidades crescem juntas.
• Inequação do 1º grau: resolvemos (20 + x)/(100 + x) > 1/2 isolando x, lembrando que 100 + x > 0, então multiplicar cruzado não inverte o sinal.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "20 fichas brancas, 30 azuis e 50 vermelhas" → total inicial = 20 + 30 + 50 = 100 fichas, das quais 20 são brancas.
• Evidência 2: "acrescentará algumas fichas brancas... probabilidade... superior a 50%" → só entram brancas; logo azuis e vermelhas continuam 30 e 50, e queremos P(branca) > 1/2.
• Síntese: chamando de x o número de brancas adicionadas, temos 20 + x brancas em um total de 100 + x fichas. Basta impor que essa razão ultrapasse 1/2 e achar o menor x inteiro.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montagem da probabilidade

Após acrescentar x fichas brancas:

• Brancas: 20 + x
• Total: 100 + x

P(branca) = (20 + x) ÷ (100 + x)

Subpasso 4.2 — Inequação

Impondo que a probabilidade seja superior a 50% = 1/2:

(20 + x)/(100 + x) > 1/2

Como 100 + x > 0, multiplicamos cruzado sem inverter o sinal:

2·(20 + x) > 1·(100 + x)

40 + 2x > 100 + x

2x − x > 100 − 40

x > 60

Subpasso 4.3 — Verificação

O menor inteiro maior que 60 é 61. Testando:

• Com x = 61 → P = 81/161 ≈ 0,503 → maior que 50% ✓
• Com x = 60 → P = 80/160 = 0,5 exatamente → não serve (o enunciado exige superior a 50%, não igual).

Portanto a quantidade mínima é 61, o que corresponde à alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 81

❌ Incorreta: satisfaz a condição (P = 101/181 ≈ 0,558 > 0,5), mas não é o mínimo pedido — 61 já basta. Valor excessivo.

B) 61

✅ Correta: é o menor inteiro que satisfaz x > 60. Dá P = 81/161 ≈ 0,503, o primeiro valor acima de 50%.

C) 41

❌ Incorreta: P = (20+41)/(100+41) = 61/141 ≈ 0,433 < 0,5. Não ultrapassa a metade.

D) 31

❌ Incorreta: P = 51/131 ≈ 0,389 < 0,5. Longe de atingir 50%.

E) 21

❌ Incorreta: P = 41/121 ≈ 0,339 < 0,5. Menor ainda; provável fruto de contar só o numerador.

🏆 Gabarito: B — o menor inteiro que faz (20 + x)/(100 + x) passar de 1/2 é x = 61.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: com 61 brancas a mais, a razão é 81/161 ≈ 50,3%; com 60 seria exatos 50%, o que a questão descarta ao pedir "superior a". Logo, 61 é o único mínimo válido.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora situações em que um evento tem probabilidade alterada por acréscimo/retirada de elementos — o segredo é lembrar que o total muda junto com o caso favorável.
• Generalização: para uma fração (a + x)/(b + x) > 1/2, a condição equivale a a + x > (b + x)/2, ou seja, 2a + 2x > b + x → x > b − 2a. Aqui, b = 100 e a = 20, logo x > 100 − 40 = 60.
• Dica de eliminação rápida: "superior a 50%" significa que as brancas precisam superar todas as outras fichas juntas (30 + 50 = 80). Então 20 + x > 80 → x > 60. Isso corta de imediato C, D e E, que dão menos de 80 brancas.
• Conexões: probabilidade em espaço equiprovável, inequações do 1º grau e proporções — trio recorrente na prova de Matemática.