Questão 180 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (área do círculo) e proporcionalidade quadrática
• ⚡ Nível: Médio — exige traduzir a situação prática em modelo geométrico, aplicar A = π·r² corretamente e, principalmente, isolar o comprimento adicional do cabo (não o raio nem o cabo total)
• 🎯 Tema/Habilidade: Relação entre área e raio de círculos concêntricos; resolução de problemas envolvendo grandezas que variam com o quadrado de uma dimensão linear
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantos metros de cabo extensor são necessários para que a área cortada pelo cortador de grama dobre em relação à área atual?"
• Palavras-chave decisivas: dobro da área, cabo extensor, raio de 6 m
• Armadilha típica: achar que dobrar a área significa dobrar o raio (2 × 6 = 12) — confunde proporcionalidade linear com proporcionalidade quadrática. Uma segunda armadilha é calcular certo o novo raio, mas responder esse valor (ou o cabo total) em vez do comprimento adicional pedido.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio da fórmula da área do círculo, capacidade de extrair uma raiz quadrada corretamente e atenção ao que exatamente está sendo perguntado — o acréscimo de cabo, não o raio nem o comprimento final do fio.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área do círculo: A = π·r². A área cresce com o quadrado do raio, então dobrar a área não dobra o raio — ele multiplica por √2.
• Raio de corte como soma de partes: o alcance do cortador (raio da região cortada) é o comprimento do cabo esticado mais a largura de 1 m da lâmina, já que a lâmina projeta o corte além da ponta do cabo.
• Proporcionalidade quadrática: se A₂ = k·A₁, então r₂ = r₁·√k. Esse é o núcleo matemático da questão.
• Cabo extensor ≠ cabo total ≠ raio novo: são três grandezas diferentes que a questão testa propositalmente para gerar confusão entre as alternativas.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "O cabo de energia mede 5 metros, e o cortador tem uma lâmina que corta 1 metro de largura... corta, portanto, uma região no formato de círculo de raio 6 m" → confirma que o raio atual é a soma direta R₁ = cabo (5 m) + largura da lâmina (1 m) = 6 m, exatamente como a figura mostra: a "Tomada" no centro, o "Cabo" de 5 m e, na ponta, mais 1 m até a borda de corte do "Cortador de grama".
• Evidência 2: "cabo extensor, de modo que seja possível cortar uma região com o dobro da área que corta atualmente" → a nova área deve ser A₂ = 2·A₁, e a pergunta final é especificamente sobre o comprimento do extensor, ou seja, o trecho de cabo a mais que precisa ser adicionado ao cabo de 5 m já existente.
• Síntese: o caminho de resolução tem três etapas encadeadas: (1) achar o novo raio R₂ que dobra a área; (2) transformar R₂ no novo comprimento de cabo total, descontando sempre o 1 m fixo da lâmina; (3) subtrair o cabo original de 5 m para isolar apenas o pedaço extra — o extensor.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Área atual e área desejada

Raio atual: R₁ = 5 (cabo) + 1 (lâmina) = 6 m

Área atual: A₁ = π·R₁² = π·6² = 36π m²

Área desejada (dobro): A₂ = 2·A₁ = 72π m²

Subpasso 4.2 — Novo raio de corte

π·R₂² = 72π ⇒ R₂² = 72 ⇒ R₂ = √72 = √(36×2) = 6√2

Como √2 ≈ 1,414, temos R₂ ≈ 6 × 1,414 ≈ 8,485 m

Subpasso 4.3 — Do raio ao comprimento do cabo total

O raio de corte sempre é "cabo esticado + 1 m de lâmina". Logo, o novo cabo total (cabo original + extensor) deve satisfazer:

Cabo total novo = R₂ − 1 = 6√2 − 1 ≈ 8,485 − 1 = 7,485 m

Subpasso 4.4 — Isolando o cabo extensor

Extensor = Cabo total novo − Cabo original = (6√2 − 1) − 5 = 6√2 − 6 = 6(√2 − 1)

Extensor ≈ 6 × (1,41421 − 1) = 6 × 0,41421 ≈ 2,485 m

Subpasso 4.5 — Verificação

Arredondando, 2,485 m ≈ 2,5 m — bate exatamente com a alternativa E. Repare que 8,485 m (o valor de R₂, calculado no Subpasso 4.2) é quase idêntico à alternativa B (8,5); esse é o resultado que o examinador espera que o candidato descuidado marque por engano, achando que "o raio novo" é "o cabo extensor".

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 12,0

❌ Incorreta: é o resultado de dobrar diretamente o raio atual (2 × 6 = 12), tratando a área como se variasse linearmente com o raio. Ignora que A = π·r² é uma relação quadrática — dobrar a área exige multiplicar o raio por √2, não por 2.

B) 8,5

❌ Incorreta: é o valor aproximado do novo raio R₂ = 6√2 ≈ 8,49 m, não do cabo extensor. Quem marca essa alternativa calculou corretamente até o Subpasso 4.2, mas parou aí — esqueceu de descontar tanto o 1 m da lâmina quanto os 5 m do cabo já instalado.

C) 6,0

❌ Incorreta: coincide com o raio atual R₁, um valor que não tem relação direta com o comprimento do cabo extensor solicitado; sugere um lapso de quem confundiu a pergunta com o próprio dado inicial do problema.

D) 3,0

❌ Incorreta: não corresponde a nenhuma etapa exata do cálculo — é próxima do resultado real (2,5 m), mas resulta de arredondamentos grosseiros ou de erro aritmético ao manipular a raiz de 72; ao refazer as contas com precisão (6√2 − 6 ≈ 2,485), o valor correto fica evidentemente mais perto de 2,5 do que de 3,0.

E) 2,5

✅ Correta: é o valor de 6(√2 − 1) ≈ 2,485 m, obtido ao subtrair do novo raio (6√2) tanto a largura fixa da lâmina (1 m) quanto o comprimento do cabo original (5 m) — exatamente o comprimento adicional de cabo que precisa ser acoplado.

🏆 Gabarito: E — o cabo extensor mede 6√2 − 6 ≈ 2,485 m, valor que arredonda para 2,5 m, a única alternativa consistente com a aplicação correta de A = π·r² seguida do desconto do cabo já existente.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: nenhuma outra alternativa sobrevive à conferência algébrica: R₂ = 6√2 é um valor fixo e único, e dele só se chega a 2,5 m fazendo exatamente (R₂ − 1) − 5.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora contextualizar a área do círculo em situações do cotidiano — irrigadores de jardim, alcance de antenas, faróis giratórios, cortadores de grama — sempre explorando a mesma pegadinha: a área cresce com o quadrado do raio, não linearmente com ele.
• Generalização: sempre que uma área (ou volume) precisa ser multiplicada por um fator k, a dimensão linear correspondente (raio, aresta, altura) deve ser multiplicada por √k (ou pela raiz de ordem apropriada, no caso de volumes por ∛k). Grave essa regra: ela resolve dezenas de questões parecidas.
• Dica de eliminação rápida: descarte de imediato qualquer alternativa que seja o dobro exato de uma medida original (aqui, 12,0) — é sempre a armadilha da proporcionalidade linear. Depois, desconfie de valores que "batem" com um raio calculado no meio da conta (aqui, 8,5) — eles costumam ser resultados intermediários, não a resposta final.
• Conexões: problemas de círculos concêntricos (alcance de aspersores, cobertura de sinal Wi-Fi, faróis giratórios) e problemas de escala/semelhança em que se pede a razão entre dimensões lineares a partir de uma razão entre áreas ou volumes.