Questão 155 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressões Geométricas (PG) e crescimento exponencial, em contexto de Biologia (reprodução bacteriana)
• ⚡ Nível: Fácil — basta traduzir "bipartição a cada 20 minutos" em multiplicação por 2, sem cálculos elaborados
• 🎯 Tema/Habilidade: Reconhecer o padrão de uma PG a partir de um fenômeno real de crescimento exponencial — competência de área 5 do ENEM (modelagem algébrica de situações técnico-científicas)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Escreva a sequência de quantidades de bactérias nos instantes 0, 20, 40, 60, 80 e 100 min, sabendo que a população dobra a cada 20 min por bipartição."
• Palavras-chave decisivas: bipartição, se divide em duas, a cada 20 minutos
• Armadilha típica: trocar o crescimento multiplicativo (dobrar) por um crescimento aditivo (somar N₀), ou representar o dobro elevando N₀ a potências em vez de multiplicá-lo por 2 repetidamente
• O que a resposta precisa demonstrar: que bipartição = multiplicar a população total por 2 a cada intervalo fixo, gerando uma PG de razão 2 — nunca uma PA nem potências de N₀

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Bipartição (fissão binária): reprodução assexuada em que uma célula-mãe duplica o DNA e se divide em duas células-filhas idênticas — cada bactéria "vira" duas a cada ciclo.
• Progressão Geométrica (PG): sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o anterior multiplicado por uma razão q constante; termo geral aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹.
• Crescimento exponencial: a variação da grandeza é proporcional ao valor já existente (populações, juros compostos, decaimento radioativo); sua versão discreta é sempre uma PG — nunca uma PA, que soma uma constante fixa a cada termo.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cada uma delas tem seu DNA duplicado e, posteriormente, se divide em duas células bacterianas" → cada bactéria origina exatamente 2: a população é multiplicada por 2, não somada.
• Evidência 2: "esse processo de bipartição se conclui a cada 20 minutos" → intervalo constante de 20 min entre duplicações; e os instantes pedidos (0, 20, 40, 60, 80, 100) avançam exatamente de 20 em 20, ou seja, cada um representa uma nova rodada de bipartição.
• Síntese: como a cada 20 min toda a população dobra, a sequência pedida é uma PG de primeiro termo N₀ e razão q = 2.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Traduzir a bipartição em operação matemática

Se há Nᵢ bactérias e cada uma se divide em duas, a quantidade depois da bipartição é 2·Nᵢ — o dobro de tudo que já existia (nunca Nᵢ+2 nem Nᵢ²). A cada 20 minutos: quantidade nova = 2 × quantidade anterior.

Subpasso 4.2 — Construir a sequência termo a termo

Contando quantas bipartições ocorreram em cada instante:

• t = 0 min → 0 bipartições → N₀
• t = 20 min → 1ª bipartição → 2N₀
• t = 40 min → 2ª bipartição → 4N₀
• t = 60 min → 3ª bipartição → 8N₀
• t = 80 min → 4ª bipartição → 16N₀
• t = 100 min → 5ª bipartição → 32N₀

Generalizando, para t = 20n minutos: N(t) = N₀ · 2ⁿ = N₀ · 2^(t/20) — a assinatura de uma PG de razão 2.

Subpasso 4.3 — Verificação

Pela fórmula do termo geral, aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹, com a₁ = N₀ e q = 2:

a₁ = N₀·2⁰ = N₀ | a₂ = N₀·2¹ = 2N₀ | a₃ = N₀·2² = 4N₀ | a₄ = N₀·2³ = 8N₀ | a₅ = N₀·2⁴ = 16N₀ | a₆ = N₀·2⁵ = 32N₀

Resultado: N₀, 2N₀, 4N₀, 8N₀, 16N₀, 32N₀ — confirmado por dois caminhos independentes e idêntico à alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) N₀, N₀², N₀³, N₀⁴, N₀⁵, N₀⁶

❌ Incorreta: eleva N₀ a expoentes crescentes (N₀ⁿ) em vez de multiplicá-lo por 2 — se N₀ = 1, a sequência ficaria constante em 1, o que é impossível numa população que se reproduz.

B) N₀, N₀², N₀⁴, N₀⁸, N₀¹⁶, N₀³²

❌ Incorreta: são os expoentes de N₀ que dobram (1, 2, 4, 8, 16, 32), não a quantidade de bactérias — confunde onde o "2" deveria atuar: multiplicando a base N₀, e não como potência dela.

C) N₀, 2N₀, 3N₀, 4N₀, 5N₀, 6N₀

❌ Incorreta: é uma PA de razão N₀ (crescimento linear, como se sempre N₀ bactérias novas fossem somadas) — ignora que na bipartição toda a população existente se divide ao mesmo tempo, logo o incremento cresce junto com ela.

D) N₀, 2N₀, 4N₀, 8N₀, 16N₀, 32N₀

✅ Correta: é a PG de primeiro termo N₀ e razão q = 2 obtida no Passo 4 — a população dobra a cada 20 minutos por bipartição.

E) N₀, 3N₀, 7N₀, 15N₀, 31N₀, 63N₀

❌ Incorreta: equivale a N₀·(2ⁿ − 1), a soma acumulada de bactérias "novas" (soma parcial Sₙ de uma PG), não a quantidade total presente em cada instante — confunde termo geral com soma dos termos.

🏆 Gabarito: D — a bipartição é um processo multiplicativo: a cada 20 minutos a população dobra, gerando a PG N₀, 2N₀, 4N₀, 8N₀, 16N₀, 32N₀, de razão q = 2.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: cada bipartição multiplica a população por 2, e os seis instantes avançam exatamente de 20 em 20 minutos — só D é compatível com "dobrar a cada intervalo".
• Padrão de cobrança: o ENEM recorre a Biologia (bactérias, vírus), Química (meia-vida radioativa) ou Economia (juros compostos) como "roupagem" para testar PG — a matemática por trás é sempre aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹.
• Generalização: se a grandeza "dobra", "triplica" ou "multiplica-se por k" em intervalos iguais, é PG de razão k; se "aumenta em quantidade fixa" a cada intervalo, é PA.
• Dica de eliminação rápida: calcule só o segundo termo (t = 20 min): deve ser 2N₀, o que já elimina A e B (potências) e E (3N₀). Entre C e D, o terceiro termo desempata: deve ser o dobro do segundo (4N₀, valor de D), enquanto C (PA) traria só 3N₀.
• Conexões: função exponencial, juros compostos, meia-vida radioativa, crescimento populacional (modelo de Malthus).