Questão 169 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (volume de prismas) e Razão/Proporção
• ⚡ Nível: Médio — exige montar uma equação combinando duas variações simultâneas (aresta e altura) para chegar ao fator de escala correto
• 🎯 Tema/Habilidade: Volume de prismas retos de base quadrada e relação entre grandezas que mudam por fatores diferentes
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Se o volume da nova embalagem é o triplo do volume atual e a nova altura é 4/3 da altura atual, qual é a nova aresta x da base em função da aresta atual a?"
• Palavras-chave decisivas: capacidade igual ao triplo, altura... 4/3 da altura atual, prisma reto de base quadrada
• Armadilha típica: achar que, para triplicar o volume, basta multiplicar a aresta da base por 3 (ignorando que a área da base cresce com o quadrado da aresta) ou esquecer que a altura também aumentou e já contribui para o volume novo.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de escrever V = aresta² × altura para as duas embalagens, substituir a relação de altura dada, igualar ao volume triplicado e isolar corretamente x, respeitando que x é uma medida positiva.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Volume do prisma reto de base quadrada: V = (aresta da base)² × altura. Como a base é um quadrado de lado a, a área da base é a², e o volume é V = a²·h.
• Escala não linear do volume: quando a base é quadrada, dobrar a aresta multiplica o volume por 4 (não por 2), porque a área da base tem expoente 2. Já a altura entra de forma linear no volume. Por isso, ao mudar duas dimensões ao mesmo tempo, os fatores de escala se multiplicam: fator do volume = (fator da aresta)² × (fator da altura).
• Equações com incógnita ao quadrado: para isolar x quando ele aparece como x², primeiro isola-se x² sozinho de um lado da equação e só depois se extrai a raiz quadrada, descartando a raiz negativa por se tratar de uma medida física.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "capacidade igual ao triplo da atual" → o volume da nova embalagem é V₂ = 3·V₁, sendo V₁ o volume da embalagem atual.
• Evidência 2: "A altura da nova embalagem será igual a 4/3 da altura da embalagem atual" → h₂ = (4/3)·h, um dado que já fixa parte do crescimento do volume, deixando para a aresta x apenas o restante do fator 3.
• Síntese: como o formato é o mesmo (prisma reto de base quadrada), basta escrever V₁ = a²h e V₂ = x²h₂, substituir h₂ = (4/3)h e V₂ = 3V₁ numa única equação, e isolar x em função de a — o h se cancela, mostrando que a resposta não depende do valor numérico da altura original.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Escrever os dois volumes

Embalagem atual: base quadrada de lado a e altura h, logo

V₁ = a² · h

Embalagem nova: base quadrada de lado x e altura h₂ = (4/3)h, logo

V₂ = x² · (4/3)h

Pelo enunciado, V₂ = 3 · V₁. Substituindo:

x² · (4/3)h = 3 · a² · h

Subpasso 4.2 — Isolar x²

Como h aparece dos dois lados e h > 0 (é uma medida de comprimento), pode-se cancelá-lo:

x² · (4/3) = 3a²

Isolando x²:

x² = 3a² ÷ (4/3) = 3a² × (3/4) = 9a²/4

Subpasso 4.3 — Extrair a raiz e verificar

x = √(9a²/4) = 3a/2

(a raiz negativa é descartada porque x é uma medida de comprimento, sempre positiva)

Verificação numérica: tome a = 2 e h = 1, só para conferir. V₁ = 2² × 1 = 4. Pela relação encontrada, x = 3(2)/2 = 3 e h₂ = 4/3. Então V₂ = 3² × (4/3) = 9 × 4/3 = 12, que é exatamente 3 × V₁ = 3 × 4 = 12. ✅ A relação x = 3a/2 é consistente com todos os dados do enunciado.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) x = a

❌ Incorreta: se a aresta da base não mudasse, o volume novo seria V₂ = a² × (4/3)h = (4/3)·V₁, ou seja, apenas 33% maior que o original — muito longe de triplicar. Esse erro surge de considerar apenas o aumento de altura e esquecer que a base também precisa crescer.

B) x = 3a

❌ Incorreta: triplicar a aresta da base, mantendo h₂ = (4/3)h, produziria um volume V₂ = (3a)² × (4/3)h = 9a² × (4/3)h = 12·a²h = 12·V₁ — doze vezes o volume original, um exagero. O erro é tratar o fator de crescimento do volume como se fosse diretamente proporcional à aresta (fator linear), ignorando que a área da base cresce com o quadrado da aresta.

C) x = 9a

❌ Incorreta: essa alternativa nasce de um erro algébrico ao lidar com x² = 9a²/4 — quem escreve x = 9a está confundindo o numerador da fração com o próprio x, sem dividir por 4 e sem extrair a raiz quadrada corretamente.

D) x = 3a/2

✅ Correta: é exatamente o valor obtido ao isolar x² = 9a²/4 e extrair a raiz quadrada, respeitando tanto o triplo de volume quanto o novo fator de altura (4/3) informados no enunciado.

E) x = a√3

❌ Incorreta: esse resultado corresponderia a um cenário diferente, em que a altura permanecesse igual (h₂ = h) e todo o aumento de volume viesse só da base: x²h = 3a²h → x² = 3a² → x = a√3. Esse raciocínio ignora o dado explícito de que a nova altura é 4/3 da altura atual, não a mesma altura.

🏆 Gabarito: D — a única relação que satisfaz simultaneamente V₂ = 3V₁ e h₂ = (4/3)h é x = 3a/2, obtida ao isolar corretamente x² = 9a²/4 e extrair sua raiz quadrada positiva.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: substituindo x = 3a/2 e h₂ = 4h/3 na fórmula do volume, obtém-se exatamente 3 vezes o volume original para qualquer a e h positivos — por isso D é a única alternativa algebricamente consistente com o enunciado.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência problemas de "reescala" de embalagens ou recipientes, em que uma dimensão varia por um fator dado e outra precisa ser descoberta a partir de uma condição sobre o volume (ou área) final — é um clássico cruzamento entre geometria espacial e razão/proporção.
• Generalização: sempre que um volume depende de V = (base)ⁿ × altura e mais de uma dimensão muda ao mesmo tempo, o fator total de variação do volume é o produto dos fatores de cada dimensão elevados ao expoente correspondente; para achar a incógnita, isole primeiro a potência dela e só depois extraia a raiz.
• Dica de eliminação rápida: antes de calcular, faça uma checagem de grandeza — como a altura já cresce sozinha, a aresta da base não precisa (nem deve) triplicar; isso já descarta B e C, que exagerariam o crescimento do volume, e A, que o subestimaria.
• Conexões: razão de semelhança entre sólidos (quando todas as dimensões escalam pelo mesmo fator k, o volume escala por k³); problemas de otimização de embalagens que também usam V = a²h como ponto de partida.