Questão 157 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (volume de prismas retangulares e de cilindros) e conversão de unidades de volume
• ⚡ Nível: Médio — cada volume é fácil de calcular, mas só acerta quem cruza duas condições ao mesmo tempo: espaço disponível e volume mínimo
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de volume de sólidos geométricos aplicado a um problema real de dimensionamento e otimização de espaço
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre cinco reservatórios de formatos e dimensões diferentes, qual tem volume suficiente para 6 dias de consumo e, ao mesmo tempo, cabe no espaço de 5 m por 6 m disponível?"
• Palavras-chave decisivas: pelo menos 6 dias completos, cabe no espaço disponível, largura de 5 m e comprimento de 6 m
• Armadilha típica: escolher o reservatório de maior volume (o cilindro R4) sem checar se ele cabe fisicamente no espaço — ou escolher pelo tamanho da base sem confirmar se o volume atende aos 6 dias.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio simultâneo de duas restrições — volume mínimo e limite físico de espaço — não apenas uma conta isolada de volume.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Conversão litro ↔ m³: 1 m³ = 1000 L. Necessária para comparar o consumo (em litros) com o volume dos reservatórios (em m³).
• Volume do paralelepípedo: V = largura × comprimento × altura. Usada para R1, R2 e R3.
• Volume do cilindro: V = π × r² × h, com r igual ao raio da base. Usada para R4 e R5.
• Restrição de cabimento: não basta ter volume suficiente — a base do reservatório (retângulo, ou o círculo do cilindro) precisa caber dentro do retângulo de 5 m × 6 m do hotel.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "consumo médio diário... 10 mil litros" → taxa fixa de 10.000 L/dia.
• Evidência 2: "suprir... por, pelo menos, 6 dias completos" → volume exigido ≥ 10.000 × 6 = 60.000 L = 60 m³ (desigualdade; vale também a igualdade exata).
• Evidência 3: "espaço... largura de 5 m e comprimento de 6 m" → nenhuma base pode ultrapassar 5 m em um lado e 6 m no outro.
• Síntese: a resposta certa é a única, entre as cinco da tabela, que satisfaz as evidências 2 e 3 simultaneamente.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Volume mínimo exigido

10.000 L/dia × 6 dias = 60.000 L. Convertendo (1 m³ = 1000 L): 60.000 ÷ 1000 = 60 m³. Esse é o piso: todo reservatório escolhido precisa ter volume ≥ 60 m³.

Subpasso 4.2 — Cabimento espacial e volume de cada opção

A figura traz as dimensões de cada reservatório. Como o espaço do hotel é 5 m × 6 m, a base de cada sólido precisa caber dentro desses limites:

| Reservatório | Dimensões (m) | Cabe em 5 × 6? | Volume |

|---|---|---|---|

| R1 (retangular) | 6 × 6 × 2 | ❌ lado de 6 m excede a largura de 5 m | 6×6×2 = 72 m³ |

| R2 (retangular) | 4 × 5 × 2,5 | ✅ 4 ≤ 5 e 5 ≤ 6 | 4×5×2,5 = 50 m³ |

| R3 (retangular) | 5 × 6 × 2 | ✅ ocupa exatamente 5×6 | 5×6×2 = 60 m³ |

| R4 (cilíndrico) | raio 6, altura 6 | ❌ diâmetro 12 m ≫ 6 m | π×6²×6 = 216π ≈ 678,58 m³ |

| R5 (cilíndrico) | raio 4, altura 5 | ❌ diâmetro 8 m > 6 m e > 5 m | π×4²×5 = 80π ≈ 251,33 m³ |

Um cilindro só cabe num espaço retangular se o diâmetro (não o raio) for menor ou igual ao menor lado disponível — por isso R4 e R5 já são eliminados, apesar dos volumes enormes.

Subpasso 4.3 — Verificação

Restam R2 e R3, únicos aprovados no teste de cabimento. Comparando com o piso de 60 m³:

R2 = 50 m³ → menor que 60 m³ (sustentaria o hotel por só 5 dias). Reprovado.

R3 = 60 m³ → igual a 60 m³, cumprindo "pelo menos 6 dias completos". Aprovado.

R3 é o único que cabe no espaço e atinge o volume mínimo. Confirmado: alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) R1.

❌ Incorreta: base 6 m × 6 m, volume de 72 m³ — mais que suficiente. Mas o lado de 6 m excede a largura de 5 m do espaço em qualquer orientação. É eliminado por não caber, não por falta de volume.

B) R2.

❌ Incorreta: base 4 m × 5 m cabe perfeitamente no espaço. O erro é de volume: 4 × 5 × 2,5 = 50 m³, abaixo dos 60 m³ necessários — abasteceria o hotel por apenas 5 dias, descumprindo "pelo menos 6 dias completos".

C) R3.

✅ Correta: base 5 m × 6 m preenche exatamente o espaço disponível, e volume 5 × 6 × 2 = 60 m³ é igual ao mínimo exigido para 6 dias. É o único que satisfaz espaço e volume simultaneamente.

D) R4.

❌ Incorreta: volume de 216π ≈ 678,58 m³, muito acima da necessidade. Mas o diâmetro de 12 m é mais que o dobro do maior lado do espaço (6 m) — instalação fisicamente impossível.

E) R5.

❌ Incorreta: volume de 80π ≈ 251,33 m³, também muito superior ao necessário. Seu diâmetro de 8 m, porém, é maior que o comprimento (6 m) e a largura (5 m) do espaço — não há orientação em que ele caiba.

🏆 Gabarito: C — R3 é o único reservatório que cabe exatamente no espaço de 5 m × 6 m e atinge, com precisão, o volume mínimo de 60 m³ necessário para 6 dias de consumo do hotel.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: C é a única alternativa que passa nos dois filtros — cabimento em 5 m × 6 m e volume ≥ 60 m³. R1, R4 e R5 sobram em volume, mas não cabem; R2 cabe, mas falta volume. Só R3 cumpre as duas exigências, de forma exata.
• Padrão de cobrança: o ENEM contextualiza volume de sólidos (prismas, cilindros, cones) em dimensionamentos reais — caixas-d'água, piscinas, silos, embalagens — cruzando uma restrição de capacidade com uma restrição física de espaço.
• Generalização: quando o enunciado impõe duas condições ("atende à demanda" e "cabe no espaço"), analise cada alternativa em duas etapas: primeiro elimine por geometria/dimensão, depois confirme por volume. Nunca julgue uma opção com um único critério.
• Dica de eliminação rápida: compare a dimensão da base (ou o diâmetro, no cilindro) com os limites do espaço antes de calcular qualquer volume — aqui isso já descarta R1, R4 e R5 em segundos, restando só R2 e R3 para comparar volumes.
• Conexões: volume de prismas e cilindros; conversão entre litros e metros cúbicos; problemas de logística e otimização de espaço.