Questão 159 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (triângulo equilátero) e Semelhança de Triângulos
• ⚡ Nível: Médio — exige um formulário simples (altura do triângulo equilátero), mas o verdadeiro desafio é modelar corretamente a situação real (largura do caminhão) antes de calcular.
• 🎯 Tema/Habilidade: Aplicação de semelhança de triângulos em uma figura inscrita a um triângulo equilátero, modelando um objeto do mundo real (competência de resolver situação-problema usando propriedades de figuras planas).
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual a altura máxima que um caminhão de 3 m de largura, centralizado na pista, pode ter para que o teto toque (sem ultrapassar) as paredes inclinadas de um túnel triangular equilátero de lado 6 m?"
• Palavras-chave decisivas: tangenciar, 3 m de largura, paralelepípedo
• Armadilha típica: calcular apenas a altura total do triângulo (no eixo central, onde a figura é mais alta) e esquecer que o caminhão tem largura — logo, o ponto que realmente toca a parede não é o centro, e sim a lateral do teto.
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar o ponto crítico correto (canto superior do caminhão) e calcular a altura da parede inclinada exatamente nesse ponto, não no eixo de simetria.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Altura do triângulo equilátero: para um triângulo equilátero de lado L, a altura é h = (L√3)/2. Ela também é o cateto maior do triângulo retângulo 30°–60°–90° formado ao traçar essa altura.
• Triângulo 30°–60°–90°: ao dividir o triângulo equilátero pela altura, cada metade é um triângulo retângulo com cateto adjacente = L/2, cateto oposto = (L√3)/2 e hipotenusa = L. A tangente do ângulo de 60° (no vértice da base) vale √3.
• Semelhança de triângulos (Teorema de Tales): se uma reta é traçada paralela a um dos lados de um triângulo, ela determina, sobre os outros dois lados, segmentos proporcionais. Isso permite calcular a altura da parede em qualquer ponto entre o vértice da base e o eixo central, não só no topo.
• Modelagem 3D → 2D: como o caminhão é um paralelepípedo (teto plano e horizontal) e o túnel tem seção transversal constante, o problema todo se resolve olhando apenas para a seção transversal (um triângulo, com um retângulo dentro dele) — um corte 2D do túnel.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "entrada na forma de um triângulo equilátero de lado 6 m" → define a seção transversal do túnel: um triângulo equilátero com base (e todos os lados) medindo 6 m, apoiado sobre a pista.
• Evidência 2: "caminhão com 3 m de largura... deve tangenciar a entrada do túnel" → o teto do caminhão é um segmento horizontal de 3 m, centralizado na base do triângulo (1,5 m de cada lado do eixo central), e ele deve tocar as duas paredes inclinadas exatamente nas suas extremidades — esse é o ponto de tangência.
• Evidência 3: "Considere o caminhão como um paralelepípedo reto" → garante que o teto é plano e horizontal (sem curvatura), reduzindo o problema a encontrar a altura de um retângulo de base 3 m, centralizado, inscrito no triângulo equilátero de lado 6 m.
• Síntese: a questão pede a altura h tal que os dois vértices superiores desse retângulo de largura 3 m toquem exatamente os lados inclinados do triângulo. Essa altura é menor que a altura total do triângulo, pois o ponto de contato está afastado do eixo central.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a seção transversal e achar a altura total do triângulo

Seja o triângulo equilátero ABC, com base AC = 6 m sobre a pista e vértice (ápice) T no topo. Traçando a altura do triângulo a partir de T até o ponto médio M da base:

• AM = MC = 3 m (metade da base)
• Altura total: H = (L√3)/2 = (6√3)/2 = 3√3 m ≈ 5,196 m

O triângulo AMT é retângulo em M, com cateto AM = 3 m, cateto MT = 3√3 m e ângulo de 60° no vértice A (ângulo interno do triângulo equilátero).

Subpasso 4.2 — Localizar o ponto crítico e aplicar semelhança de triângulos

O caminhão tem largura 3 m e está centralizado sobre o eixo MT. Logo, cada lateral do teto está a 1,5 m do centro M. Seja P o ponto na base AM que fica sob a lateral direita do teto do caminhão:

MP = 1,5 m → AP = AM − MP = 3 − 1,5 = 1,5 m

Trace, a partir de P, um segmento vertical PQ até encontrar o lado inclinado AT do triângulo. Como PQ é paralela a MT, o triângulo APQ é semelhante ao triângulo AMT (ângulo A em comum + ângulos retos em P e M — critério AA). A razão de semelhança é:

AP/AM = 1,5/3 = 1/2

Logo, a altura procurada também é metade da altura total:

h = PQ = MT × (1/2) = 3√3 × (1/2) = (3√3)/2 m ≈ 2,598 m

Subpasso 4.3 — Verificação (via trigonometria)

Como o ângulo em A é 60° (ângulo interno do triângulo equilátero), vale tg 60° = PQ/AP, e tg 60° = √3. Então:

h = AP × tg 60° = 1,5 × √3 = 1,5√3 = 3√3/2 m

O mesmo valor foi obtido por dois caminhos independentes (semelhança de triângulos e trigonometria do triângulo retângulo), confirmando que h = (3√3)/2 m é a altura máxima — bate exatamente com a alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 3

❌ Incorreta: 3 é apenas o valor de AM (metade da base do triângulo), uma medida horizontal — não uma altura. Confundir a distância do eixo ao vértice com a altura da parede nesse ponto é o erro de quem não aplica a proporção corretamente.

B) 3√2

❌ Incorreta: o fator √2 é típico de diagonais de quadrado ou de triângulos retângulos isósceles (ângulos de 45°). No triângulo equilátero, o ângulo relevante é 60°, cuja tangente envolve √3 — usar √2 aqui é misturar figuras geometricamente diferentes.

C) 3√3

❌ Incorreta: esse é exatamente o valor da altura total do triângulo (no eixo central M), a armadilha clássica da questão. Esse valor só seria a resposta se o caminhão tivesse largura zero (um ponto), o que ignora a informação central do problema — os 3 m de largura do caminhão.

D) (3√2)/2

❌ Incorreta: mantém a proporção correta de "metade" (fator 1/2, coerente com AP/AM), mas erra o fator angular ao usar √2 em vez de √3 — como se o triângulo fosse retângulo isósceles em vez de equilátero.

E) (3√3)/2

✅ Correta: é o resultado exato da semelhança de triângulos (razão 1/2 aplicada à altura total 3√3), confirmado também pela tangente de 60°. É a altura máxima que o caminhão pode ter para que o teto apenas tangencie as paredes inclinadas do túnel, sem ultrapassá-las.

🏆 Gabarito: E — a altura de tangência ocorre a 1,5 m do eixo central (metade dos 3 m que separam o eixo do vértice da base), e por semelhança de triângulos essa altura vale metade da altura total do triângulo: (3√3)/2 m.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a letra E respeita simultaneamente o fator angular correto (√3, próprio do triângulo equilátero) e a proporção geométrica correta (metade da altura total, decorrente da largura do caminhão), por isso é a única resposta possível.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente propõe "objetos inscritos em polígonos regulares" (retângulos em triângulos, círculos em quadrados etc.) contextualizados em situações reais — túneis, embalagens, terrenos — testando se o estudante sabe traduzir a restrição física (aqui, a largura do caminhão) em uma condição geométrica precisa.
• Generalização: sempre que um retângulo estiver inscrito e centralizado em um triângulo isósceles (ou equilátero), a altura do retângulo nas suas laterais é proporcional à distância entre a lateral e o vértice da base, na mesma razão entre essa distância e a metade da base — use semelhança de triângulos ou tg(ângulo da base).
• Dica de eliminação rápida: qualquer alternativa com √2 (aqui, B e D) pode ser descartada de cara, pois triângulo equilátero sempre gera relações com √3, nunca √2. Em seguida, descarte a altura total do triângulo (aqui, C = 3√3), pois ela ignora a largura do objeto — clássica armadilha. Sobra a proporção correta: E.
• Conexões: trigonometria do triângulo retângulo (razões em 30°-60°-90°), Teorema de Tales, problemas de "gabarito de altura" e dimensionamento de veículos em situações reais de engenharia viária.