Questão 161 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Notação científica e potências de base 10
• ⚡ Nível: Fácil — exige apenas reescrever um número decimal muito pequeno como fração de potência de 10, sem cálculos elaborados
• 🎯 Tema/Habilidade: Notação científica aplicada a medidas do mundo real (competência de leitura e representação de grandezas em escalas microscópicas)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dado que o diâmetro da hemácia é 7,8 × 10⁻⁶ m e que esse mesmo valor pode ser escrito como a fração 78/d, descubra o valor de d."
• Palavras-chave decisivas: 7,8 × 10⁻⁶ metros, razão 78/d, notação científica
• Armadilha típica: confundir o expoente do número 7,8 × 10⁻⁶ (que tem apenas 1 algarismo antes da vírgula) com o expoente da fração 78/d (que tem 2 algarismos, 7 e 8, antes da vírgula) — isso desloca a resposta para a alternativa C (10⁶) em vez da D (10⁷).
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de converter uma notação científica padrão (mantissa entre 1 e 10) para uma fração equivalente com numerador inteiro de dois algarismos, ajustando corretamente o expoente da potência de 10.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Notação científica: forma de escrever números muito grandes ou muito pequenos como $a \times 10^{n}$, com $1 \leq a < 10$ e $n$ inteiro (positivo para números grandes, negativo para números pequenos).
• Equivalência entre potências de 10: multiplicar a mantissa por 10 e subtrair 1 do expoente mantém o valor inalterado, pois $a \times 10^{n} = (10a) \times 10^{n-1}$ — é essa manipulação que transforma $7,8 \times 10^{-6}$ em $78 \times 10^{-7}$.
• Fração como potência negativa: todo número $x \times 10^{-n}$ pode ser reescrito como $\dfrac{x}{10^{n}}$, já que $10^{-n} = \dfrac{1}{10^{n}}$ — regra que permite passar de $78 \times 10^{-7}$ para $\dfrac{78}{10^{7}}$.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "Hemácias normais têm diâmetro médio de 7,8 × 10⁻⁶ metros" → fornece o valor numérico de referência, já em notação científica padrão, que servirá de ponto de partida para a conversão.
• Evidência 2: "é representado pela razão 78/d" → impõe que o numerador seja exatamente 78 (não 7,8), o que obriga a deslocar a vírgula uma casa para a direita e, consequentemente, ajustar o expoente da potência de 10 que multiplica esse novo numerador.
• Síntese: o problema é puramente de reescrita: partir de $7,8 \times 10^{-6}$, transformar a mantissa 7,8 em 78 (multiplicando por 10) e compensar essa multiplicação diminuindo o expoente em uma unidade, chegando a uma fração cujo denominador é exatamente o valor de $d$.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Reescrever a mantissa como número inteiro de dois algarismos

O enunciado dá o diâmetro em notação científica padrão: $7,8 \times 10^{-6}$ m. Para que o numerador da fração seja 78 (inteiro, sem vírgula), multiplica-se 7,8 por 10, obtendo 78. Como isso altera o valor do número, é preciso compensar reduzindo o expoente em 1 unidade:

$$7,8 \times 10^{-6} = (7,8 \times 10) \times 10^{-6-1} = 78 \times 10^{-7}$$

Verificação rápida: $10 \times 10^{-1} = 10^{0} = 1$, logo multiplicar por 10 e diminuir o expoente em 1 simultaneamente não altera o valor — apenas a forma de escrevê-lo.

Subpasso 4.2 — Transformar a potência negativa em fração

Usando $10^{-n} = \dfrac{1}{10^{n}}$, reescreve-se $78 \times 10^{-7}$ como fração:

$$78 \times 10^{-7} = \frac{78}{10^{7}}$$

Comparando com a forma dada, $\dfrac{78}{d}$, conclui-se por identidade direta que $d = 10^{7}$.

Subpasso 4.3 — Verificação

Escrevendo $10^7$ por extenso (sete zeros após o 1): $d = 10\,000\,000$. Conferindo no sentido inverso: $\dfrac{78}{10\,000\,000} = 0,0000078 = 7,8 \times 10^{-6}$ m — exatamente o diâmetro original. A resolução está correta e consistente.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 10 000.

❌ Incorreta: equivale a $10^{4}$. Não corresponde a nenhuma manipulação algébrica válida da igualdade dada; sugere um erro grosseiro de contagem de casas, sem sequer considerar a mudança da mantissa de 7,8 para 78.

B) 100 000.

❌ Incorreta: equivale a $10^{5}$. Valor intermediário sem respaldo algébrico, típico de erro de contagem ao tentar ajustar o expoente -6 sem aplicar corretamente a regra de compensação ao transformar 7,8 em 78.

C) 1 000 000.

❌ Incorreta: equivale a $10^{6}$. É a armadilha mais comum da questão — usar diretamente o módulo do expoente original ($10^{-6} \to 10^{6}$), esquecendo que multiplicar a mantissa 7,8 por 10 (para virar 78) exige diminuir o expoente em mais uma unidade, de -6 para -7.

D) 10 000 000.

✅ Correta: equivale a $10^{7}$, exatamente o valor obtido na resolução ao converter $7,8 \times 10^{-6}$ em $78 \times 10^{-7} = \dfrac{78}{10^{7}}$, o que identifica $d = 10^{7} = 10\,000\,000$.

E) 100 000 000.

❌ Incorreta: equivale a $10^{8}$. Corresponderia a um erro de compensação no sentido oposto ao correto — como se, ao multiplicar a mantissa por 10, o expoente devesse aumentar em vez de diminuir, invertendo a lógica da equivalência entre potências de 10.

🏆 Gabarito: D — a conversão de $7,8 \times 10^{-6}$ para a forma $78/d$ exige compensar o deslocamento da vírgula (mantissa 7,8 → 78, multiplicada por 10) diminuindo o expoente em uma unidade (de -6 para -7), o que leva a $d = 10^{7} = 10\,000\,000$.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só $d = 10\,000\,000$ satisfaz simultaneamente a igualdade numérica $7,8 \times 10^{-6} = 78/d$ e a checagem por substituição direta, tornando a alternativa D a única matematicamente consistente.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente contextualiza notação científica com medidas biológicas, astronômicas ou físicas (diâmetro de células, distâncias entre planetas, massa de partículas) para testar se o candidato manipula potências de 10 além de apenas "decorar" a definição.
• Generalização: sempre que um número em notação científica $a \times 10^{n}$ precisar virar uma fração com numerador inteiro de mais algarismos que a mantissa original, cada casa decimal deslocada para a direita no numerador deve ser compensada com uma unidade a menos no expoente do denominador (e vice-versa, se a vírgula for deslocada para a esquerda).
• Dica de eliminação rápida: conte quantas casas a vírgula precisa "andar" para transformar a mantissa dada (7,8) no numerador pedido (78) — aqui é 1 casa. Some esse número ao módulo do expoente original (6 + 1 = 7) para achar o expoente correto de $d$; isso já elimina de cara as alternativas com $10^{6}$ (armadilha) e qualquer valor fora dessa contagem.
• Conexões: ordem de grandeza, operações com potências de mesma base, conversão de unidades de medida (micrômetros, nanômetros) usando notação científica.