Questão 171 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções (função quadrática) e Porcentagem
• ⚡ Nível: Médio — exige traduzir um enunciado verbal em linguagem algébrica percebendo que a taxa de desconto também depende de x
• 🎯 Tema/Habilidade: Construção de expressões algébricas a partir de situações-problema (modelagem matemática); reconhecer que o produto de duas grandezas dependentes de x gera uma função quadrática
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Escrever a expressão algébrica V(x) que dá o valor pago, em reais, por um cliente que compra x bombons, sabendo que o desconto concedido é de x% sobre o total da compra."
• Palavras-chave decisivas: R$ 2,00 cada, x% de desconto na compra de x bombons, x ≤ 40
• Armadilha típica: tratar o desconto como uma taxa fixa (por exemplo, sempre 10% ou sempre "x/100" isolado) e esquecer que ele deve ser aplicado sobre o valor total da compra, não sobre uma unidade só. Outro erro comum é multiplicar o preço unitário errado ou usar 100 no denominador do desconto sem simplificar corretamente a fração 2/100.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o valor final é "preço cheio menos desconto", e que esse desconto, por depender simultaneamente da quantidade x e da taxa x%, produz necessariamente um termo em x².

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Valor total sem desconto: é sempre preço unitário multiplicado pela quantidade comprada. Aqui, preço unitário = R$ 2,00, quantidade = x, logo valor cheio = 2x reais.
• Porcentagem como fração: "x%" significa x/100. Para transformar uma porcentagem em valor monetário, multiplica-se essa fração pelo valor sobre o qual ela incide.
• Desconto absoluto (em reais): obtém-se multiplicando a taxa (x/100) pelo valor total da compra (2x), e não pelo preço unitário isolado — esse é o ponto que separa quem entende o problema de quem erra por pressa.
• Função quadrática por composição: quando duas grandezas que dependem da mesma variável x são multiplicadas entre si (aqui, a quantidade x e a taxa x/100, ambas amarradas ao mesmo x), o resultado é proporcional a x², gerando uma parábola em vez de uma reta.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "bombons, que custam R$ 2,00 cada" → fixa o preço unitário em 2, constante que multiplica a quantidade x.
• Evidência 2: "Cada cliente tem x% de desconto na compra de x bombons" → é a frase-chave: tanto a quantidade comprada quanto o percentual de desconto usam a mesma letra x, isto é, os dois valores crescem juntos e se multiplicam, o que introduz o termo quadrático.
• Evidência 3: "válida para a compra de até 40 bombons... 40% é o desconto máximo possível" → confirma que quando x = 40, o desconto deve ser exatamente 40%, servindo como teste de verificação da fórmula final.
• Síntese: o problema pede uma função V(x) = (preço cheio) − (desconto), em que o preço cheio é linear (2x) e o desconto é quadrático (proporcional a x·x), com domínio restrito a 0 ≤ x ≤ 40.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Valor total sem desconto

Se cada bombom custa R$ 2,00 e o cliente compra x unidades, o valor cheio da compra é:

Valor cheio = 2 × x = 2x reais.

Subpasso 4.2 — Cálculo do desconto em reais

O desconto concedido é de x% sobre esse valor total. Escrevendo x% como fração:

Desconto = (x/100) × 2x = 2x²/100.

Simplificando a fração 2/100 = 1/50, obtém-se:

Desconto = x²/50.

Subpasso 4.3 — Montagem de V(x) e verificação

O valor pago é o valor cheio menos o desconto:

V(x) = 2x − x²/50, válida para x ≤ 40.

Verificação com o limite dado no enunciado (x = 40, desconto máximo de 40%):

V(40) = 2·40 − 40²/50 = 80 − 1600/50 = 80 − 32 = 48.

Confirmando por outro caminho: 40 bombons × R$ 2,00 = R$ 80,00; 40% de desconto sobre R$ 80,00 = R$ 32,00; R$ 80,00 − R$ 32,00 = R$ 48,00. Os dois caminhos batem, confirmando que V(x) = 2x − x²/50 é a expressão correta.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) V = x²/50

❌ Incorreta: essa expressão é apenas o valor do desconto isolado — o termo que deveria ser subtraído. Falta o valor cheio da compra (2x); sem ele, a expressão não representa o valor pago, e sim o quanto o cliente deixa de pagar.

B) V = 2 − x/50

❌ Incorreta: essa fórmula não escala corretamente com a quantidade comprada. Ela se pareceria, no máximo, com um "preço unitário médio" após desconto (2 − x/50 seria V/x, não V), mas apresentada como valor total ela erra a estrutura: para x = 40 daria V = 2 − 40/50 = 1,2, um valor muito menor que os R$ 48,00 esperados para 40 bombons.

C) V = 2x − x²/50

✅ Correta: reproduz exatamente o raciocínio de "preço cheio (2x) menos desconto em reais (x²/50)", validado pela verificação numérica com x = 40, que resulta em R$ 48,00 — coerente com 40% de desconto sobre R$ 80,00.

D) V = x − x²/100

❌ Incorreta: usa preço unitário 1 real em vez de 2 reais (erro na constante que multiplica x) e, além disso, calcula o desconto como x²/100 em vez de x²/50, esquecendo de multiplicar o desconto percentual pelo valor total corretamente. É um erro duplo de constantes.

E) V = 2x − x²/100

❌ Incorreta: acerta o valor cheio (2x), mas erra o desconto: usa x²/100 em vez de x²/50. Esse erro ocorre quando se calcula (x/100) × x, esquecendo de multiplicar pelo preço unitário R$ 2,00 dentro do desconto — o "2" do preço some do termo quadrático, subestimando o desconto pela metade.

🏆 Gabarito: C — V(x) = 2x − x²/50 é a única expressão que representa corretamente "valor cheio (2x) menos desconto percentual crescente com x (x²/50)", confirmada pela verificação numérica em x = 40.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra C é a única alternativa que combina corretamente o preço unitário (R$ 2,00), a quantidade x e a taxa de desconto x/100 aplicada sobre o valor total, resultando em V(x) = 2x − x²/50.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de problemas em que uma mesma variável aparece em dois papéis diferentes (aqui, quantidade e percentual de desconto), pois isso testa se o estudante identifica, sem calcular nada, que o resultado será uma função quadrática e não linear.
• Generalização: sempre que "preço × quantidade" e "taxa percentual" dependerem da mesma variável, o valor final terá um termo em x². A estrutura geral é: Valor = (preço unitário)·x − (preço unitário)·(x/100)·x.
• Dica de eliminação rápida: teste x = 40 mentalmente nas alternativas — o resultado deve ser R$ 48,00 (desconto de 40% sobre R$ 80,00). Isso elimina instantaneamente alternativas com constantes erradas (como D e E) e expressões sem o termo do preço total (como A e B), sem precisar expandir nenhuma fórmula por completo.
• Conexões: funções quadráticas aplicadas a problemas de economia/finanças; interpretação de porcentagem como fração decimal em contextos de desconto e lucro.