Questão 156 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Coeficiente angular (inclinação) de segmentos de reta e relação com o ângulo (tangente)
• ⚡ Nível: Difícil — 9 segmentos e 8 pares vizinhos a testar contra uma regra composta (duas condições simultâneas), exigindo organização e atenção redobrada.
• 🎯 Tema/Habilidade: Leitura de gráfico poligonal (função afim por partes) e uso do coeficiente angular m = tan θ para decidir quando um ângulo é maior ou igual a 45°.
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantas vezes um segmento positivo foi seguido, imediatamente, por outro também positivo com inclinação ≥45°?"
• Palavras-chave decisivas: dois períodos consecutivos, inclinação positiva, no segundo... maior ou igual a 45°
• Armadilha típica: contar segmentos isolados (só "positivos" ou só "≥45°") em vez de buscar pares consecutivos que cumprem as duas exigências juntas — o 1º só precisa ser positivo, mas o 2º precisa ser positivo e ter inclinação ≥1 (≥45°).
• O que a resposta precisa demonstrar: calcular o coeficiente angular de cada trecho, relacioná-lo ao ângulo (m = tan θ) e aplicar corretamente a condição "E" sobre pares vizinhos, sem confundir "positivo" com "≥45°".

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim por partes (gráfico poligonal): o preço varia linearmente entre os pontos marcados; cada trecho reto entre dois pontos consecutivos é um "período", com coeficiente angular próprio.
• Coeficiente angular (inclinação): m = Δpreço/Δtempo = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Se m > 0, o preço sobe no período; se m < 0, cai.
• Relação entre coeficiente angular e ângulo: m = tan θ, sendo θ o ângulo do segmento com a horizontal. Como tan 45° = 1, θ ≥ 45° ⇔ m ≥ 1 — esse "1" separa subidas suaves (θ<45°) de acentuadas (θ≥45°).
• Condição composta (conectivo "E"): a regra só vale para um par vizinho (Sᵢ, Sᵢ₊₁) quando mᵢ > 0 e mᵢ₊₁ ≥ 1 ao mesmo tempo. Basta uma das duas falhar para o par ser descartado.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "gráfico... formado por segmentos de reta" → a variação do preço é linear por partes; a inclinação de cada trecho é constante e se calcula por dois pontos conhecidos.
• Evidência 2: "dois períodos consecutivos cujos segmentos têm inclinação positiva, sendo que no segundo a inclinação é maior ou igual a 45°" → traduz em linguagem matemática exata a condição mᵢ > 0 e mᵢ₊₁ ≥ 1 sobre pares vizinhos.
• Evidência 3: os 10 pontos rotulados (tempo em horas; preço em R$) fornecem todas as coordenadas para calcular as 9 inclinações do período de 19 horas (valores no Passo 4.1).
• Síntese: a solução exige (i) calcular a inclinação dos 9 segmentos; (ii) classificar cada uma em positiva/negativa e comparar as positivas com o limiar 1 (= tan 45°); (iii) varrer os 8 pares vizinhos aplicando a regra composta e contar quantos a satisfazem.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Organizar os pontos do gráfico

O gráfico tem 10 pontos e, portanto, 9 segmentos consecutivos (S1 a S9) ligando-os. Coordenadas (tempo em h; preço em R$):

P1(1; 23,92) — P2(2; 25,19) — P3(3,5; 23,92) — P4(6; 26,01) — P5(8; 26,52) — P6(11; 30) — P7(12; 22,93) — P8(15; 23,92) — P9(17; 27,23) — P10(19; 27,90).

Subpasso 4.2 — Calcular a inclinação de cada segmento (m = Δpreço/Δtempo)

Lembrando que m ≥ 1 equivale a θ ≥ 45°:

• S1 (1h→2h): m = (25,19−23,92)/1 = 1,27 → positiva, ≥1 ✓(≥45°)
• S2 (2h→3,5h): m = (23,92−25,19)/1,5 ≈ −0,85 → negativa
• S3 (3,5h→6h): m = (26,01−23,92)/2,5 ≈ 0,84 → positiva, <1 (θ≈40°, quase 45° mas não chega)
• S4 (6h→8h): m = (26,52−26,01)/2 ≈ 0,26 → positiva, <1
• S5 (8h→11h): m = (30−26,52)/3 ≈ 1,16 → positiva, ≥1 ✓(≥45°)
• S6 (11h→12h): m = (22,93−30)/1 = −7,07 → negativa (queda brusca)
• S7 (12h→15h): m = (23,92−22,93)/3 ≈ 0,33 → positiva, <1
• S8 (15h→17h): m = (27,23−23,92)/2 ≈ 1,66 → positiva, ≥1 ✓(≥45°)
• S9 (17h→19h): m = (27,90−27,23)/2 ≈ 0,34 → positiva, <1

Subpasso 4.3 — Varrer os 8 pares consecutivos aplicando a regra composta

A regra vale para o par (Sᵢ, Sᵢ₊₁) só se Sᵢ > 0 e Sᵢ₊₁ ≥ 1:

• (S1,S2): 1,27 e −0,85 → 2º negativo → ❌
• (S2,S3): −0,85 e 0,84 → 1º negativo → ❌
• (S3,S4): 0,84 e 0,26 → ambos positivos, mas 2º <1 → ❌
• (S4,S5): 0,26 e 1,16 → ambos positivos, 2º ≥1 → ✅ sinal de venda em t = 11h
• (S5,S6): 1,16 e −7,07 → 2º negativo → ❌
• (S6,S7): −7,07 e 0,33 → 1º negativo → ❌
• (S7,S8): 0,33 e 1,66 → ambos positivos, 2º ≥1 → ✅ sinal de venda em t = 17h
• (S8,S9): 1,66 e 0,34 → ambos positivos, mas 2º <1 → ❌

Subpasso 4.4 — Verificação e síntese numérica

Dos 9 segmentos, 7 têm inclinação positiva (isso sozinho nada diz sobre a regra); apenas 3 têm inclinação ≥45° isoladamente (S1, S5, S8); existem 4 pares com ambos positivos (S3-S4, S4-S5, S7-S8, S8-S9), mas só 2 desses 4 têm o segundo segmento ≥45°: (S4,S5) e (S7,S8). O gráfico indica 2 momentos de bom sinal para vender → alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 7

❌ Incorreta: total de segmentos com inclinação positiva no gráfico inteiro (S1, S3, S4, S5, S7, S8, S9), sem aplicar nenhum dos dois filtros da regra ("consecutivo" e "≥45° no segundo"). Confunde "subiu" com "sinal de venda".

B) 4

❌ Incorreta: número de pares vizinhos em que ambos os segmentos são positivos (S3-S4, S4-S5, S7-S8, S8-S9), mas ignora a exigência de que o segundo segmento do par tenha inclinação ≥45°. Aplica só metade da regra composta.

C) 3

❌ Incorreta: número de segmentos que, isoladamente, têm inclinação ≥45° (S1, S5 e S8), sem checar se cada um foi precedido por outro positivo. S1, por exemplo, é o primeiro segmento do gráfico e não tem "período anterior" — não pode ser o segundo elemento de par nenhum.

D) 2

✅ Correta: apenas os pares (S4,S5) — inclinações 0,26 e 1,16 — e (S7,S8) — inclinações 0,33 e 1,66 — satisfazem as duas condições simultaneamente: 1º segmento positivo e 2º com inclinação ≥1 (≥45°). São exatamente 2 momentos de venda, em t = 11h e t = 17h.

E) 1

❌ Incorreta: identifica apenas um dos dois pares válidos — tipicamente (S7,S8), mais evidente pela subida acentuada de 23,92 para 27,23. O par (S4,S5) passa despercebido porque seu primeiro segmento (0,26) é uma subida suave, fácil de subestimar como "quase plano".

🏆 Gabarito: D — o gráfico apresenta exatamente 2 pares de períodos consecutivos em que o primeiro segmento é positivo e o segundo tem inclinação maior ou igual a 45° (de 8h a 11h, precedido por 6h-8h; e de 15h a 17h, precedido por 12h-15h).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: dos 8 pares possíveis de segmentos vizinhos, só (S4,S5) e (S7,S8) cumprem as duas condições da regra simultaneamente — por isso o número de bons momentos de venda é 2, alternativa D.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de gráficos "de história real" (preço de ativos, temperatura, população, câmbio) descritos por segmentos de reta, cobrando leitura de coordenadas, coeficiente angular e sua conversão para ângulo via tangente.
• Generalização: quando o enunciado combinar duas exigências com "e" sobre elementos consecutivos, calcule todos os valores primeiro, classifique cada um pelo critério pedido e só então varra os pares aplicando a regra completa — nunca aplique metade da condição por atalho.
• Dica de eliminação rápida: se sua contagem bateu com "quantos segmentos são positivos" (armadilha A), "quantos pares têm os dois positivos sem checar o segundo" (armadilha B) ou "quantos isolados têm inclinação ≥45°" (armadilha C), desconfie — a questão pede a interseção de todas as condições.
• Conexões: coeficiente angular e função afim; razões trigonométricas (tangente de ângulo agudo); leitura crítica de gráficos econômicos.