Questão 144 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções definidas por partes (por faixas) e equações do 1º grau
• ⚡ Nível: Médio — a conta é simples, mas exige validar o resultado contra o próprio intervalo que o gerou, e as alternativas foram desenhadas para pegar quem pula essa checagem
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de situação-problema com função definida por partes (Competência de Área 5 da Matriz de Referência do ENEM)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descubra o número n de CDs comprados, sabendo o valor total gasto, o preço do equipamento e uma tabela em que o preço unitário do CD muda conforme a faixa de n."
• Palavras-chave decisivas: custo total, varia de acordo com o número n, segundo o quadro
• Armadilha típica: calcular n = (gasto com CDs) ÷ (um dos três preços da tabela) e parar por aí, sem verificar se esse n pertence à faixa que originou o preço usado. As alternativas A e C são justamente os valores que "batem na conta", mas caem fora da faixa correspondente.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar a equação para cada faixa de preço e testar a consistência do resultado com o próprio intervalo — só isso separa a resposta certa das quatro erradas.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função definida por partes (por faixas): "regra" que muda de fórmula conforme o intervalo em que a variável de entrada se encontra — aqui, o preço unitário do CD depende de em qual faixa de n a compra se enquadra.
• Equação do 1º grau: gasto com CDs = preço unitário × quantidade, ou seja, 756 = p·n, de onde n = 756 ÷ p.
• Separação de custos fixos e variáveis: o custo total mistura um gasto fixo (equipamento, R$ 252,00, pago uma única vez) com um gasto variável (CDs, que depende de n). É preciso isolar o gasto variável antes de aplicar a tabela.
• Teste de consistência (validação de domínio): como o preço depende de n e n é a própria incógnita, resolver a equação não basta — o valor encontrado precisa "caber" dentro da faixa que forneceu o preço usado.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "equipamento... ao valor de R$ 252,00" e "custo total... R$ 1 008,00" → o gasto exclusivo com os CDs é 1008 − 252 = 756 reais; o equipamento é gasto fixo e não entra na tabela de preços por faixa.
• Evidência 2: "o custo unitário de cada CD novo... varia de acordo com o número n de CDs adquiridos, segundo o quadro" → não existe um preço fixo por CD; a tabela define três cenários (n < 1 000; 1 000 ≤ n < 2 500; n ≥ 2 500), e cada um precisa ser testado separadamente.
• Síntese: o caminho da resolução é resolver "756 = preço × n" três vezes — uma para cada linha da tabela — e aceitar apenas o valor de n que respeita os limites da faixa que gerou aquele preço.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Isolar o gasto exclusivo com CDs

Custo total = custo do equipamento + custo dos CDs

R$ 1 008,00 = R$ 252,00 + custo dos CDs

custo dos CDs = 1008 − 252 = R$ 756,00

Subpasso 4.2 — Testar as três faixas da tabela

Regra usada em cada faixa: n = 756 ÷ (preço unitário da faixa), aceitando apenas o resultado que respeita a própria desigualdade da faixa.

Faixa n < 1 000 (preço R$ 0,45):

n = 756 ÷ 0,45 = 1 680

Checagem: 1 680 < 1 000? Não. ❌ Descartado — para pagar R$ 0,45 por CD seria preciso comprar menos de 1 000 unidades, e 1 680 contraria isso.

Faixa 1 000 ≤ n < 2 500 (preço R$ 0,40):

n = 756 ÷ 0,40 = 1 890

Checagem: 1 000 ≤ 1 890 < 2 500? Sim. ✅ Pertence exatamente à faixa que originou o preço usado — solução autoconsistente.

Faixa n ≥ 2 500 (preço R$ 0,35):

n = 756 ÷ 0,35 = 2 160

Checagem: 2 160 ≥ 2 500? Não. ❌ Descartado pelo mesmo motivo da primeira faixa.

Subpasso 4.3 — Verificação

Único valor consistente com sua própria faixa: n = 1 890.

Conferindo pelas contas originais: 1 890 × R$ 0,40 = R$ 756,00; R$ 756,00 + R$ 252,00 = R$ 1 008,00 ✓ — bate exatamente com o custo total do enunciado.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1 680.

❌ Incorreta: é o resultado exato de 756 ÷ 0,45, o preço da primeira faixa — mas 1 680 não é menor que 1 000, então esse número de CDs jamais pagaria R$ 0,45 por unidade segundo a própria tabela. É a armadilha de parar na primeira conta sem validar o intervalo.

B) 1 890.

✅ Correta: é o resultado de 756 ÷ 0,40, o preço da faixa intermediária, e 1 890 está dentro do intervalo 1 000 ≤ n < 2 500 que originou esse preço — a única solução em que preço usado e quantidade encontrada se confirmam mutuamente.

C) 2 160.

❌ Incorreta: é o resultado exato de 756 ÷ 0,35, o preço da terceira faixa — mas 2 160 não é maior ou igual a 2 500, contrariando a faixa que deveria justificar esse preço. Armadilha de escolher o "preço mais barato" da tabela sem checar se a quantidade o sustenta.

D) 2 520.

❌ Incorreta: vem de dividir o custo total (R$ 1 008,00, sem descontar o equipamento) pelo preço da faixa intermediária: 1 008 ÷ 0,40 = 2 520. É o erro de esquecer que parte dos R$ 1 008,00 foi gasto com o equipamento, não com CDs.

E) 2 880.

❌ Incorreta: mesma natureza do erro de D, mas usando o preço da terceira faixa: 1 008 ÷ 0,35 = 2 880. Também ignora que R$ 252,00 do total é gasto fixo com o equipamento, inflando artificialmente a quantidade de CDs calculada.

🏆 Gabarito: B — n = 1 890 é o único número de CDs que, multiplicado pelo preço unitário de sua própria faixa (R$ 0,40), reproduz exatamente o gasto de R$ 756,00 com CDs e fecha o custo total de R$ 1 008,00 informado no enunciado.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas n = 1 890 sobrevive ao teste de consistência entre o preço usado no cálculo e a faixa que esse preço representa; as demais quebram essa condição — A e C caem fora da faixa, D e E nascem de esquecer o desconto do equipamento.
• Padrão de cobrança: o ENEM usa tabelas de preço "por faixa" para simular situações reais — tarifas de água e luz, alíquotas de Imposto de Renda, planos de internet, multas de trânsito — sempre exigindo testar e validar cada cenário.
• Generalização: sempre que uma taxa ou preço depender do próprio valor calculado, resolva a equação para cada faixa e devolva o resultado a essa faixa para conferir se ele "cabe" ali; se não couber, descarte, mesmo que a conta esteja matematicamente correta.
• Dica de eliminação rápida: calcule n para os três preços da tabela usando o gasto líquido (já descontando custos fixos) e compare cada resultado com sua faixa de origem — normalmente dois dos três valores se autoeliminam na hora. Desconfie de alternativas que só "batem" quando se usa o valor total bruto, sem descontar despesas fixas.
• Conexões: tabelas progressivas de Imposto de Renda, tarifas de energia elétrica por faixa de consumo, e o estudo de funções definidas por partes.