Questão 136 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Matrizes (montagem e produto de matrizes aplicado a um contexto real)
• ⚡ Nível: Médio — não exige cálculo numérico algum, mas cobra entender, de forma abstrata, como cada peso e cada nota devem ocupar linha e coluna corretas para que o produto matricial reproduza o critério de avaliação descrito no enunciado.
• 🎯 Tema/Habilidade: Representar situações e resolver problemas que envolvem operações com matrizes (H21/H22 da Matriz de Referência de Matemática do ENEM), aqui aplicada à modelagem de um sistema de pesos de vestibular.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre as cinco opções de produto de matrizes A · B, qual delas, ao ser calculada, devolve exatamente a nota final do candidato no curso I na primeira linha e no curso II na segunda linha?"
• Palavras-chave decisivas: "matriz A representa os pesos", "matriz B contém as notas", "matriz coluna" com curso I na 1ª linha e curso II na 2ª linha.
• Armadilha típica: montar a matriz de pesos com as linhas e colunas trocadas — colocar os pesos de cada curso nas colunas em vez das linhas, ou inverter a ordem das notas dentro do vetor B (trocar X por Y) — produzindo um resultado numericamente "parecido", mas estruturalmente errado.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir um enunciado verbal (pesos e critérios) para a linguagem formal de matrizes, respeitando a regra de que, no produto A · B, cada linha de A "conversa" com a coluna de B para gerar uma linha do resultado.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Produto de matrizes (linha por coluna): se A é m×n e B é n×p, o elemento da linha i, coluna j de A·B é a soma dos produtos dos elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B. Quando B é uma matriz coluna (n×1), cada linha do resultado é simplesmente "linha de A · coluna única de B", isto é, uma combinação linear dos elementos de B com os pesos daquela linha de A.
• Matriz de pesos (A): cada linha de A deve representar um "destinatário" (aqui, um curso), e cada coluna deve representar um "insumo" (aqui, um tipo de nota — objetivas ou redação) na mesma ordem em que esses insumos aparecem no vetor B. Trocar a ordem das colunas de A sem trocar a ordem das linhas de B (ou vice-versa) quebra a correspondência peso ↔ nota.
• Matriz de notas (B), matriz coluna: B = [X, Y]ᵀ, em que a primeira posição guarda a nota das questões objetivas (X) e a segunda guarda a nota da redação (Y). Essa ordem é fixada pelo enunciado e deve ser mantida em todas as alternativas para que a comparação seja justa.
• Tradução do critério de pesos em números: curso I usa peso 1 para objetivas e peso 2 para redação; curso II usa peso 1 para objetivas e peso 3 para redação. Isso define, linha a linha, os dois "vetores de peso" que formam a matriz A.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "questões objetivas: peso 1 para o curso I e peso 1 para o curso II" → a primeira coluna de A (o peso da nota objetiva) vale 1 em ambas as linhas, ou seja, ambos os cursos tratam a nota objetiva com o mesmo peso.
• Evidência 2: "redação: peso 2 para o curso I e peso 3 para o curso II" → a segunda coluna de A (o peso da redação) muda de curso para curso: 2 na linha do curso I e 3 na linha do curso II — é justamente essa diferença de peso na redação que distingue os dois cursos.
• Evidência 3: "nota final para o curso I" na primeira linha do resultado e "nota final para o curso II" na segunda → a ordem das linhas de A (e, consequentemente, do resultado) precisa ser curso I primeiro, curso II depois, sem inversão.
• Síntese: juntando as três evidências, a matriz de pesos correta tem, na primeira linha, os pesos do curso I (1 e 2) e, na segunda linha, os pesos do curso II (1 e 3); o vetor de notas mantém a ordem (X, depois Y). É essa estrutura — e só ela — que, multiplicada, entrega o resultado descrito no enunciado.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a matriz de pesos A linha a linha

Cada linha de A é lida como "quanto vale cada tipo de nota para aquele curso". Seguindo a Evidência 1 e a Evidência 2:

• Linha do curso I (peso da objetiva = 1; peso da redação = 2): (1 2)
• Linha do curso II (peso da objetiva = 1; peso da redação = 3): (1 3)

Logo: A = [ (1, 2) ; (1, 3) ] — primeira linha (1, 2) para o curso I, segunda linha (1, 3) para o curso II.

Subpasso 4.2 — Montar a matriz de notas B e calcular o produto A · B

B é a matriz coluna com a nota das objetivas (X) na primeira posição e a nota da redação (Y) na segunda, exatamente na ordem que a Evidência 3 exige que corresponda às colunas de A: B = [X ; Y].

Aplicando a regra "linha de A vezes coluna de B, somando os produtos":

• 1ª linha do resultado (nota do curso I): 1·X + 2·Y = X + 2Y
• 2ª linha do resultado (nota do curso II): 1·X + 3·Y = X + 3Y

Portanto: A · B = [ (1, 2) ; (1, 3) ] · [X ; Y] = [X + 2Y ; X + 3Y].

Subpasso 4.3 — Verificação

Confira se X + 2Y e X + 3Y batem com o critério do enunciado: no curso I, a redação (Y) entra multiplicada por 2 — confere com "peso 2 para o curso I". No curso II, a redação entra multiplicada por 3 — confere com "peso 3 para o curso II". Em ambos os cursos, X entra com peso 1 — confere com "peso 1 para os dois cursos". A estrutura resultante é exatamente A = [ (1, 2) ; (1, 3) ] com B = [X ; Y], que é a representação buscada pela questão.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) A = [ (1, 1) ; (2, 3) ] , B = [X ; Y]

❌ Incorreta: aqui os pesos "1 e 1" (que na verdade são os pesos da nota objetiva para os dois cursos) foram colocados como se fossem os pesos de uma única linha, e "2 e 3" (pesos da redação) formam a outra linha isolada — essa matriz não separa os pesos por curso, e sim por tipo de prova nas linhas. O produto resultante misturaria X e Y de forma que nenhuma linha representaria isoladamente a nota de um curso específico com os pesos corretos por curso.

B) A = [ (1, 2) ; (1, 3) ] , B = [X ; Y]

✅ Correta: cada linha de A corresponde a um curso (linha 1 = curso I, com pesos 1 e 2; linha 2 = curso II, com pesos 1 e 3), e a coluna B preserva a ordem (X, Y) = (objetivas, redação). O produto gera exatamente [X+2Y ; X+3Y], reproduzindo o critério de pesos descrito no enunciado — é a construção obtida no Passo 4.

C) A = [ (2, 1) ; (3, 1) ] , B = [X ; Y]

❌ Incorreta: as colunas de A estão trocadas em relação à ordem de B. Aqui o peso que multiplica X (a nota objetiva) é 2 no curso I e 3 no curso II, e o peso que multiplica Y (a redação) é 1 nos dois cursos — exatamente o oposto do que o enunciado descreve, pois é a redação que deveria ter pesos diferentes (2 e 3), não a prova objetiva.

D) A = [ (2, 3) ; (1, 1) ] , B = [X ; Y]

❌ Incorreta: além de repetir a inversão de colunas do item C (peso da redação aplicado a X), essa matriz também inverte a ordem das linhas — a linha com os pesos "2 e 3" viria primeiro, atribuindo ao curso I um resultado que, na estrutura correta, pertenceria ao curso II. Duplo erro: pesos na coluna errada e cursos na linha errada.

E) A = [ (1, 1) ; (2, 3) ] , B = [Y ; X]

❌ Incorreta: mesmo problema de estrutura de linhas do item A (pesos agrupados por tipo de prova, não por curso), agravado pela inversão da matriz B, que traz a redação (Y) na primeira posição e a nota objetiva (X) na segunda — contrariando a ordem estabelecida no enunciado (nota das questões objetivas, depois nota da redação).

🏆 Gabarito: B — apenas a alternativa B organiza a matriz de pesos com uma linha por curso (pesos do curso I: 1 e 2; pesos do curso II: 1 e 3) e mantém a matriz de notas na ordem (X, Y), gerando o produto [X+2Y, X+3Y]ᵀ que corresponde fielmente ao critério de avaliação descrito.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa B respeita simultaneamente as três exigências do enunciado — pesos da objetiva iguais (1 e 1) na primeira coluna, pesos da redação diferentes (2 e 3) na segunda coluna, e ordem curso I → curso II preservada nas linhas; qualquer outra combinação viola pelo menos uma dessas exigências.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente usa matrizes como "tabelas disfarçadas" — situações de custo, nota, produção ou consumo em que cada linha representa uma categoria (aluno, curso, produto) e cada coluna representa uma variável (peso, preço, quantidade), pedindo que o candidato reconheça essa correspondência antes de multiplicar.
• Generalização: ao montar um produto de matrizes a partir de um enunciado em texto, escreva primeiro, em português, a expressão de cada resultado desejado (aqui, "nota do curso I = 1·X + 2·Y"); os coeficientes dessa expressão, na ordem das variáveis do vetor B, formam exatamente a linha correspondente da matriz A — esse "de trás para frente" evita erros de linha/coluna.
• Dica de eliminação rápida: verifique primeiro se a matriz coluna B mantém a ordem (X, Y) dada no enunciado — isso elimina de cara alternativas como a E; em seguida, confira se a coluna que multiplica X tem os dois pesos iguais (1 e 1), pois só a coluna da redação deveria variar entre os cursos — isso elimina C e D quase instantaneamente.
• Conexões: sistemas lineares (a mesma estrutura pode ser reescrita como duas equações), matriz de transformação linear aplicada a um vetor, e problemas de "matriz de custo/produção" recorrentes em questões de Matemática Aplicada do ENEM.