Questão 143 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade (Teorema da Probabilidade Total) e leitura de tabelas
• ⚡ Nível: Médio — exige ponderar duas taxas de aprovação pelo tamanho de cada turma e localizar o resultado numa tabela de faixas
• 🎯 Tema/Habilidade: Probabilidade total aplicada a uma partição do espaço amostral
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Combine as taxas de aprovação das duas turmas, ponderadas pelo tamanho de cada uma, para achar a probabilidade geral de aprovação e localizar a faixa de bônus correspondente."
• Palavras-chave decisivas: escolhido ao acaso, do total de alunos, percentual de aprovados
• Armadilha típica: somar 25% + 40% = 65%, ou tirar a média simples (32,5%), ignorando que as turmas têm tamanhos diferentes (54% e 46%) e que isso precisa entrar como peso no cálculo.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio do Teorema da Probabilidade Total — combinar a partição do espaço amostral (turma A ou B) com as taxas condicionais de aprovação, e cruzar o resultado com a tabela de bônus.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Teorema da Probabilidade Total: se o espaço amostral é dividido em partes que não se sobrepõem e cobrem 100% dos casos (turma A e turma B), a probabilidade de um evento E ocorrer é a soma ponderada P(E) = P(A)·P(E|A) + P(B)·P(E|B).
• Probabilidade condicional: P(E|A) é a chance de aprovação calculada dentro da turma A (25%) — taxa interna daquele grupo, não a chance geral do curso.
• Partição do espaço amostral: A e B são mutuamente excludentes e exaustivos, pois 54% + 46% = 100%. Todo aluno pertence a exatamente uma turma — condição indispensável para aplicar o teorema sem erro.
• Leitura de tabela por faixas: cada intervalo tem desigualdades específicas (< no limite superior, ≤ no inferior). Posicionar o valor calculado exige atenção a esses símbolos.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "Do total de alunos, 54% estão na turma A" → define os pesos: P(A) = 0,54 e, por complementaridade, P(B) = 1 − 0,54 = 0,46.
• Evidência 2: "o percentual de aprovados da turma A foi de 25%, ... uma aprovação de 40% para os alunos da turma B" → fornece as taxas condicionais: P(aprovado | A) = 0,25 e P(aprovado | B) = 0,40.
• Evidência 3: "a probabilidade de um aluno do curso, escolhido ao acaso, ser aprovado" → mostra que se quer a probabilidade global do curso (A e B juntos), não a de uma turma isolada — gatilho verbal do Teorema da Probabilidade Total.
• Síntese: o enunciado monta os quatro ingredientes da fórmula P(A)·P(E|A) + P(B)·P(E|B): dois pesos que somam 100% e duas taxas distintas. O resultado ainda precisa ser localizado na tabela para decidir o bônus (I a V).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Organizar os dados na estrutura da probabilidade total

P(A) = 0,54 → P(aprovado | A) = 0,25

P(B) = 0,46 → P(aprovado | B) = 0,40

Confirmação da partição: 0,54 + 0,46 = 1,00 (100% dos alunos) ✓

Subpasso 4.2 — Aplicar o Teorema da Probabilidade Total

P(aprovado) = P(A) × P(aprovado | A) + P(B) × P(aprovado | B)

P(aprovado) = 0,54 × 0,25 + 0,46 × 0,40

P(aprovado) = 0,135 + 0,184

P(aprovado) = 0,319 = 31,9%

Subpasso 4.3 — Verificação: localizar 31,9% na tabela de faixas

| Probabilidade de aprovação (%) | Bônus |

|---|---|

| 0 ≤ P < 10 | I |

| 10 ≤ P < 20 | II |

| 20 ≤ P < 35 | III |

| 35 ≤ P < 50 | IV |

| 50 ≤ P ≤ 100 | V |

Como 20 ≤ 31,9 < 35, o valor calculado cai exatamente na faixa III.

Teste de sanidade: por ser uma média ponderada, 31,9% precisa ficar entre as duas taxas individuais (25% e 40%) — e de fato 25 < 31,9 < 40 ✓. Como a turma A (peso maior, 54%) tem a taxa menor (25%), o resultado fica abaixo da média aritmética simples (32,5%), puxado para baixo pelo peso maior da turma menos aprovada.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I.

❌ Incorreta: corresponde a 0 ≤ P < 10. Só se chega tão baixo multiplicando as quatro informações entre si (0,54 × 0,46 × 0,25 × 0,40 ≈ 2,5%), como se a aprovação exigisse estar em A e em B ao mesmo tempo — impossível, pois são turmas excludentes. O teorema pede soma ponderada, nunca produto.

B) II.

❌ Incorreta: corresponde a 10 ≤ P < 20. Típico de resolução incompleta: calcular só um dos termos e esquecer o outro — 0,54 × 0,25 = 13,5% (só A) ou 0,46 × 0,40 = 18,4% (só B). Ambos ignoram que a probabilidade total soma as duas contribuições.

C) III.

✅ Correta: corresponde a 20 ≤ P < 35, exatamente onde se encaixa o valor de 31,9% obtido pela aplicação completa e correta do Teorema da Probabilidade Total.

D) IV.

❌ Incorreta: corresponde a 35 ≤ P < 50. Aparece se o candidato aplicar a taxa de B (40%, a maior) ao curso inteiro, ignorando a taxa menor de A: 0,54 × 0,40 + 0,46 × 0,40 = 0,40 × (0,54 + 0,46) = 40%. Erro de leitura que funde as duas taxas numa só, apagando a diferença entre as turmas, que é o cerne do problema.

E) V.

❌ Incorreta: corresponde a 50 ≤ P ≤ 100. Surge de somar diretamente as taxas sem ponderar pelo tamanho das turmas: 25% + 40% = 65%. É o erro mais grave: trata probabilidades condicionais — válidas só dentro de cada turma — como parcelas diretamente somáveis de uma probabilidade global, anulando a lógica do teorema.

🏆 Gabarito: C — A aplicação correta do Teorema da Probabilidade Total, ponderando 25% pelo peso de 54% (turma A) e 40% pelo peso de 46% (turma B), resulta em 31,9%, valor que se encaixa exatamente na faixa III (20% ≤ P < 35%) da tabela de bônus.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: C é a única alternativa compatível com o cálculo correto, pois 31,9% é o único valor que a estrutura dos dados permite obter ao ponderar cada taxa de aprovação pelo tamanho real de cada turma.
• Padrão de cobrança: o ENEM usa com frequência esse formato — subpopulações com pesos e taxas de sucesso diferentes, pedindo a probabilidade "geral" ou "de um elemento escolhido ao acaso no total". É sempre sinal para aplicar o Teorema da Probabilidade Total.
• Generalização: quando o problema disser "os grupos representam X% e Y% do total" com taxa própria em cada um, a resposta é P_total = Σ [peso do grupo × taxa do grupo] — nunca a soma simples nem a média simples das taxas, a menos que os grupos tenham o mesmo tamanho.
• Dica de eliminação rápida: o resultado tem de estar entre a menor taxa (25%) e a maior (40%). Isso já elimina qualquer faixa fora desse intervalo, sobrando poucas alternativas para conferir.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões de mistura (concentrações diferentes) e em médias ponderadas disfarçadas de estatística.