Questão 142 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade (eventos independentes) e Análise Combinatória (combinação simples)
• ⚡ Nível: Difícil — exige combinar contagem combinatória, cálculo de probabilidade em espaço equiprovável e o reconhecimento de independência entre dois sorteios distintos, tudo embutido em um enunciado longo.
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de probabilidade de eventos independentes a partir de combinações simples — habilidade de resolver situações-problema que unem raciocínio combinatório e noções de probabilidade.
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sorteando aleatoriamente 4 dos 7 países americanos e 4 dos 7 países europeus, qual é a probabilidade de Brasil e França estarem entre os escolhidos ao mesmo tempo?"
• Palavras-chave decisivas: "aleatoriamente", "quatro representantes... quatro representantes", "Brasil e a França pertencerem"
• Armadilha típica: perceber corretamente que é preciso multiplicar duas probabilidades (por serem eventos independentes), mas errar o valor de cada uma — usar 1/7 em vez de 4/7, esquecendo que há 4 vagas (e não apenas 1) disputadas em cada grupo de 7 países.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio de "sorteio aleatório de k elementos entre n" como probabilidade (via combinação ou via atalho k/n) e capacidade de reconhecer quando dois eventos são independentes para aplicar a regra do produto.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Combinação simples C(n,k): número de modos de escolher k elementos de um conjunto de n, sem considerar a ordem. Fórmula: C(n,k) = n! ÷ [k!(n−k)!]. Usada aqui porque a ordem dos países escolhidos não importa, só quem entra na comissão.
• Espaço amostral equiprovável: como o sorteio é aleatório, cada uma das C(7,4) combinações possíveis de representantes americanos tem a mesma chance de ocorrer — e o mesmo vale, separadamente, para os europeus.
• Regra prática "k em n": ao sortear aleatoriamente k elementos entre n, a probabilidade de um elemento específico estar entre os sorteados é sempre k/n. É um atalho poderoso, que evita calcular razões de combinações grandes sob pressão de tempo de prova.
• Eventos independentes e regra do produto: dois eventos são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Nesse caso, P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "serão escolhidos aleatoriamente quatro representantes de países das Américas e quatro representantes de países europeus" → revela que existem DOIS sorteios separados — um entre os 7 países americanos, outro entre os 7 europeus — e não um único sorteio misturando os 14 países de uma vez.
• Evidência 2: "não podendo estar na comissão dois representantes de um mesmo país" → apenas garante que cada país escolhido cede exatamente 1 representante; como Brasil e França pertencem a listas totalmente disjuntas (nenhum país aparece nas duas), essa restrição não cria nenhuma dependência extra entre os dois grupos — ela só confirma que o modelo correto é a combinação simples C(7,4) em cada grupo.
• Evidência 3: "Qual é a probabilidade de o Brasil e a França pertencerem a essa comissão?" → o comando pede a probabilidade da INTERSEÇÃO de dois eventos específicos, um em cada grupo — o conectivo "e" aponta diretamente para a regra do produto de probabilidades.
• Síntese: a resolução consiste em calcular P(Brasil está entre os 4 americanos sorteados), calcular P(França está entre os 4 europeus sorteados) e multiplicar as duas, já que os dois sorteios são independentes.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Traduzindo o problema para linguagem combinatória

Grupo Américas: 7 países, escolhem-se 4 → total de comissões americanas possíveis = C(7,4) = 35.

Grupo Europa: 7 países, escolhem-se 4 → total de comissões europeias possíveis = C(7,4) = 35.

Como os sorteios são independentes, cada uma das 35 combinações americanas pode se combinar livremente com qualquer uma das 35 europeias: 35 × 35 = 1225 comissões completas possíveis, todas igualmente prováveis.

Subpasso 4.2 — Probabilidade de o Brasil estar na comissão

Para o Brasil integrar os 4 escolhidos, ele ocupa 1 vaga e restam 3 vagas a preencher com os outros 6 países americanos: C(6,3) = 20 combinações favoráveis.

P(Brasil) = C(6,3) ÷ C(7,4) = 20/35 = 4/7.

Confere com o atalho k/n: havendo 4 vagas entre 7 países, qualquer país específico (inclusive o Brasil) tem probabilidade 4/7 de ser sorteado — não há nada de especial no Brasil, o resultado vale por simetria para qualquer um dos 7.

Subpasso 4.3 — Probabilidade de a França estar na comissão

Mesmo raciocínio, aplicado ao grupo europeu: França fixa + 3 dos outros 6 europeus → C(6,3) = 20 combinações favoráveis sobre C(7,4) = 35 totais.

P(França) = 20/35 = 4/7.

Subpasso 4.4 — Unindo os dois eventos: independência

O sorteio dos representantes americanos não interfere em nada no sorteio dos representantes europeus — são dois conjuntos de países totalmente disjuntos, sorteados separadamente, sem nenhuma regra que conecte as duas escolhas. Logo, "Brasil na comissão" e "França na comissão" são eventos independentes, e:

P(Brasil ∩ França) = P(Brasil) × P(França) = 4/7 × 4/7 = 16/49.

Subpasso 4.5 — Verificação por contagem direta

Casos favoráveis: comissões americanas com Brasil (20) × comissões europeias com França (20) = 400.

Casos totais: 1225.

P = 400/1225 → dividindo numerador e denominador por 25 → 16/49. ✓ Resultado idêntico ao obtido pela regra do produto — confirma P = 16/49.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1/182

❌ Incorreta: esse valor aparece quando se ignora a divisão do problema em dois grupos de 7 países e se trata a escolha como um sorteio sequencial dentro de um único "pool" misto de 14 países, com apenas 1 vaga (não 4) em disputa: P = 1/14 × 1/13 = 1/182 (como se o Brasil fosse "o" único escolhido entre 14 países, e a França, "a" única escolhida entre os 13 restantes). O erro está em ignorar tanto as 4 vagas por grupo quanto a separação Américas/Europa.

B) 1/49

❌ Incorreta: vem de 1/7 × 1/7. É a armadilha mais provável da questão — o candidato acerta a ideia central (multiplicar duas probabilidades por independência), mas calcula errado cada probabilidade individual, como se houvesse 1 vaga por grupo de 7 países, e não 4. A probabilidade correta de um país específico ser sorteado é 4/7, não 1/7.

C) 1/4

❌ Incorreta: reflete a "falácia da equiprobabilidade" — supor, sem calcular, que todo evento do tipo "está ou não está" vale 50%: 1/2 (Brasil) × 1/2 (França) = 1/4. Isso ignora completamente os números do enunciado: 4 vagas entre 7 países dão 4/7 ≈ 57%, não 50%.

D) 1/13

❌ Incorreta: valor que surge ao tratar as duas seleções (americana e europeia) como dependentes entre si — como se escolher os representantes americanos alterasse as chances disponíveis para os europeus, misturando os dois grupos em um único cálculo condicional. O erro conceitual central é desrespeitar a independência entre os sorteios, que é exatamente o ponto que a questão quer testar.

E) 16/49

✅ Correta: é exatamente o produto das duas probabilidades certas, P(Brasil) × P(França) = 4/7 × 4/7 = 16/49, confirmado tanto pelo atalho k/n quanto pela contagem direta de casos (400 favoráveis em 1225 totais).

🏆 Gabarito: E — Como Américas e Europa formam grupos disjuntos, sorteados independentemente, P(Brasil) = 4/7 e P(França) = 4/7 se multiplicam: 4/7 × 4/7 = 16/49.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: com 14 países divididos em dois grupos disjuntos de 7, cada um sorteando 4 representantes de modo independente, a única forma matematicamente correta de calcular P(Brasil e França) é multiplicar 4/7 por 4/7 = 16/49 — todas as demais alternativas nascem de simplificações indevidas (1 vaga em vez de 4, dependência inexistente entre os grupos, ou intuição de 50%).
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência probabilidade combinada com contagem simples, pedindo a chance de um elemento específico (uma pessoa, uma carta, um país) pertencer a um subconjunto sorteado aleatoriamente — muitas vezes escondendo, como aqui, dois sorteios independentes dentro do mesmo enunciado.
• Generalização: sempre que k elementos são sorteados aleatoriamente entre n, a probabilidade de um elemento específico estar entre os sorteados é k/n; se dois sorteios desse tipo forem independentes (grupos sem interseção), a probabilidade conjunta é o produto das duas frações k/n.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro a probabilidade de "um evento só" (aqui, 4/7 ≈ 0,57); o resultado da probabilidade conjunta precisa ficar abaixo desse valor, mas não ser absurdamente pequeno — isso já elimina de cara A (1/182) e D (1/13), pequenas demais para dois eventos com quase 60% de chance cada.
• Conexões: análise combinatória (combinação simples), distribuição hipergeométrica, regra do produto para eventos independentes.