Questão 141 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (volume do cilindro) + Álgebra (isolamento de variável ao quadrado)
• ⚡ Nível: Fácil — aplica uma única fórmula conhecida, com apenas uma incógnita e nenhuma conversão de unidade.
• 🎯 Tema/Habilidade: Calcular o volume de um sólido geométrico, isolando uma dimensão linear (o raio) numa equação com potência.
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dado o volume e a altura de um cilindro, calcule o raio da base."
• Palavras-chave decisivas: formato cilíndrico, 1 m de altura, 0,4 m³
• Armadilha típica: isolar corretamente r², mas esquecer de extrair a raiz quadrada no passo final — ou confundir a fórmula do cilindro com a do cone.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio da fórmula V = π r² h e capacidade de resolvê-la para r, sabendo que r é medida de comprimento — logo, resultado de raiz quadrada, não de um quadrado.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Cilindro circular reto: sólido formado por duas bases circulares paralelas e congruentes unidas por uma superfície lateral perpendicular a elas — a caixa-d'água do problema é exatamente esse sólido.
• Volume do cilindro: V = π r² h, sendo r o raio da base e h a altura. Vem do princípio "volume = área da base × altura", com a base sendo um círculo (A = π r²).
• Isolamento de variável ao quadrado: com a incógnita aparecendo como r², o procedimento tem duas etapas: (1) isolar r² e (2) extrair a raiz quadrada dos dois lados. Como r é medida física (r > 0), descarta-se a raiz negativa.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "formato cilíndrico" → define a fórmula a usar: V = π r² h (não é cone, prisma ou esfera).
• Evidência 2: "1 m de altura" → fornece h = 1.
• Evidência 3: "capaz de armazenar 0,4 m³ de água" → fornece V = 0,4 m³, a capacidade interna exigida.
• Síntese: os três dados alimentam a mesma equação, V = π r² h, com uma única incógnita, r. Basta substituir e isolar — nenhum dado sobra, nenhum falta.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montagem da equação

Partindo de V = π × r² × h e substituindo V = 0,4 e h = 1:

0,4 = π × r² × 1 → 0,4 = π r²

Como h = 1 é o elemento neutro da multiplicação, ele "some" numericamente aqui — coincidência dos dados desta questão, não regra geral: com h ≠ 1, esse valor precisaria permanecer explícito na divisão.

Subpasso 4.2 — Isolamento do raio

Isolando r²:

r² = 0,4 ÷ π = 0,4/π

Como o expoente é 2, aplica-se a raiz quadrada nos dois lados (mantendo só a raiz positiva, pois r é comprimento):

r = √(0,4/π)

Esse é o valor exato do raio, na forma de radical — sem aproximar π, já que nenhuma alternativa traz decimal "fechado". Isso sinaliza que a banca quer reconhecer a forma algébrica correta, não uma conta decimal longa.

Subpasso 4.3 — Verificação

A estrutura obtida precisa ter raiz quadrada (pois r vem de r²) e exatamente 0,4 no numerador. Numericamente, r ≈ √0,1273 ≈ 0,357 m (≈ 35,7 cm de raio) — compatível com uma caixa de 1 m de altura guardando 400 litros (0,4 m³ = 400 L). Substituindo de volta: π × (0,357)² × 1 ≈ 0,4 m³ ✓, confirmando a estrutura da alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 0,2/π

❌ Incorreta: soma dois erros. Troca a fórmula do volume pela da área lateral (A = 2π r h), resolvendo r = 0,4/(2π) = 0,2/π de forma linear, e ainda entrega o resultado sem raiz quadrada — como se r estivesse isolado em primeiro grau, quando na verdade está elevado ao quadrado na fórmula correta.

B) 0,4/π

❌ Incorreta: é exatamente r² = 0,4/π. O candidato acerta toda a álgebra até isolar o quadrado do raio, mas para antes do passo final e esquece de extrair a raiz. É a armadilha mais sedutora: usa os números certos, mas entrega a grandeza errada (r² em vez de r).

C) √(0,2/π)

❌ Incorreta: aplica a raiz quadrada corretamente, mas substitui um volume errado — usa 0,4/2 = 0,2 em vez de 0,4 m³. Erro típico de quem confunde a relação raio-diâmetro (r = d/2) e tenta aplicá-la ao volume, dividindo-o por 2, quando essa relação vale só para medidas lineares, nunca para volumes.

D) √(0,4/π)

✅ Correta: resultado exato de isolar r em 0,4 = π r², preservando o volume correto (0,4), a altura correta (h = 1) e a operação certa — raiz quadrada aplicada a r², resultando em r.

E) √(1,2/π)

❌ Incorreta: nasce de usar a fórmula do cone (V = ⅓ π r² h) em vez da do cilindro. Isolando r²: r² = 3V/(π h) = 1,2/π, logo r = √(1,2/π). O erro é confundir dois sólidos de revolução distintos — o cone tem um terço do volume de um cilindro de mesma base e altura, e essa constante "3" entra indevidamente no resultado.

🏆 Gabarito: D — única alternativa que combina os três acertos: fórmula correta do cilindro, volume correto (0,4 m³) substituído e raiz quadrada corretamente aplicada para isolar a dimensão linear r.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só D preserva, ao mesmo tempo, o valor correto do volume e a operação matemática (raiz quadrada) exigida para "desfazer" o expoente 2 do raio.
• Padrão de cobrança: volume de sólidos geométricos (cilindro, cone, prisma, esfera) aparece com frequência em quase toda edição do ENEM, em contextos cotidianos (caixas-d'água, latas, silos), pedindo o cálculo direto do volume ou, como aqui, o processo inverso.
• Generalização: sempre que a incógnita for uma medida linear (raio, aresta, altura) e aparecer elevada a uma potência na fórmula do volume, o último passo é obrigatoriamente extrair a raiz correspondente — quadrada para r², cúbica para r³.
• Dica de eliminação rápida: observe a estrutura das alternativas antes de calcular. Se a incógnita é linear (metro), qualquer alternativa sem radical onde deveria haver um já pode ser descartada por análise dimensional — aqui, isso elimina A e B de cara.
• Conexões: volume do cone (V = ⅓ π r² h), volume da esfera (V = 4/3 π r³) e razão entre volumes de sólidos semelhantes.