Questão 148 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Grandezas proporcionais (velocidade, tempo e distância) e operações com frações (MMC)
• ⚡ Nível: Médio — a dificuldade não está na conta em si, mas em perceber qual grandeza foi dividida em partes iguais: a distância, não o tempo.
• 🎯 Tema/Habilidade: Relação velocidade-tempo-distância (v = d/t) aplicada a um sistema de trechos sucessivos, resolvido via equação com frações e MMC
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Três motoristas revezam a direção, cada um percorrendo a MESMA distância em velocidades diferentes; sabendo que a soma dos tempos de cada trecho é 31 h, qual é a distância total da viagem?"
• Palavras-chave decisivas: um terço da quilometragem total, tempo total de 31 horas, velocidade média
• Armadilha típica: ler "revezaram" e assumir, por instinto, que cada motorista dirigiu por um terço do TEMPO (31/3 h) — mas o enunciado é explícito: o que é repartido em três partes iguais é a quilometragem, não o tempo.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir "cada um dirige D/3 km" em três tempos distintos (um por velocidade), somá-los e igualar a 31 h.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Equação fundamental do MRU: velocidade = distância/tempo, logo tempo = distância/velocidade. É essa forma (isolando o tempo) que resolve o problema.
• Tempo total = soma dos tempos individuais: como a viagem é contínua e sem paradas, o tempo total (31 h) é exatamente t₁ + t₂ + t₃, um trecho depois do outro.
• Distância igual, velocidades diferentes: cada motorista percorre D/3 km, mas gasta um tempo diferente, pois a velocidade de cada um é diferente — é aqui que mora a "pegadinha" da questão.
• MMC para somar frações heterogêneas: para somar 1/75 + 1/90 + 1/100, é preciso um denominador comum; o MMC(75, 90, 100) organiza essa soma sem perder precisão.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "revezaram na direção, de forma que cada um deles dirigisse um terço da quilometragem total" → a grandeza dividida em três partes iguais é a distância (D/3 km para cada um), não o tempo.
• Evidência 2: "num tempo total de 31 horas" → os três tempos de condução, somados, resultam exatamente 31 h — essa é a equação que fecha o problema.
• Evidência 3: "75 km/h... 90 km/h... 100 km/h" → cada trecho de D/3 km tem sua própria velocidade, então cada trecho tem seu próprio tempo (D/3)/75, (D/3)/90 e (D/3)/100.
• Síntese: o caminho é montar (D/3)·(1/75 + 1/90 + 1/100) = 31 e isolar D — um problema de equação fracionária disfarçado de cinemática.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montagem da equação

Seja D a distância total, em km. Cada motorista percorre D/3 km. Como tempo = distância/velocidade, os tempos de cada trecho são:

t₁ = (D/3) ÷ 75, t₂ = (D/3) ÷ 90, t₃ = (D/3) ÷ 100.

Como a viagem não tem paradas, t₁ + t₂ + t₃ = 31, ou seja:

(D/3) × (1/75 + 1/90 + 1/100) = 31

Subpasso 4.2 — MMC e isolamento de D

Fatorando: 75 = 3 × 5²; 90 = 2 × 3² × 5; 100 = 2² × 5². O MMC é 2² × 3² × 5² = 900.

1/75 = 12/900 1/90 = 10/900 1/100 = 9/900

1/75 + 1/90 + 1/100 = (12 + 10 + 9)/900 = 31/900

Substituindo na equação:

(D/3) × (31/900) = 31 → D/3 = 31 × (900/31) → D/3 = 900 → D = 2 700 km

Subpasso 4.3 — Verificação

Se D = 2 700 km, cada motorista dirigiu 2 700 ÷ 3 = 900 km. Conferindo os tempos:

900 ÷ 75 = 12 h; 900 ÷ 90 = 10 h; 900 ÷ 100 = 9 h.

Soma: 12 + 10 + 9 = 31 h ✓ — bate exatamente com o enunciado. O valor D = 2 700 km está confirmado e corresponde à alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 900.

❌ Incorreta: é a distância percorrida por um único motorista (D/3 = 900 km), não a distância total da viagem. É o erro de parar o raciocínio um passo antes de multiplicar por 3.

B) 2 700.

✅ Correta: é o valor de D obtido ao resolver (D/3)(1/75 + 1/90 + 1/100) = 31, confirmado pela soma dos tempos individuais (12 h + 10 h + 9 h = 31 h).

C) 2 738.

❌ Incorreta: nasce da armadilha central da questão — confundir "um terço da DISTÂNCIA" com "um terço do TEMPO". Se cada um dirigisse 31/3 h, a distância seria 75×(31/3) + 90×(31/3) + 100×(31/3) = 265×(31/3) = 8215/3 ≈ 2 738,3 km. É usar a velocidade média aritmética [(75+90+100)/3 ≈ 88,33 km/h] × 31 h, em vez da relação correta entre tempos.

D) 2 790.

❌ Incorreta: equivale a tratar a viagem inteira como se fosse percorrida do início ao fim a uma única velocidade constante de 90 km/h (a do segundo motorista, tomada erroneamente como "representativa"): 90 × 31 = 2 790. Ignora que há três velocidades diferentes e que a distância — não o tempo — é dividida em partes iguais.

E) 8 215.

❌ Incorreta: é exatamente 31 × (75 + 90 + 100) = 8 215, ou seja, a soma das distâncias que cada motorista percorreria se dirigisse sozinho as 31 horas inteiras. Esse valor ignora por completo que a viagem é repartida em três trechos, somando três viagens completas em vez de três trechos de um terço.

🏆 Gabarito: B — D = 2 700 km é o único valor coerente com a equação (D/3)(1/75+1/90+1/100) = 31 e com a verificação direta dos tempos (12 h + 10 h + 9 h = 31 h).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: B é a única alternativa que resiste à prova dos noves: transformar 2 700 km de volta em tempos (12 h, 10 h e 9 h) reproduz exatamente os 31 h do enunciado; nenhuma outra alternativa passa nesse teste.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora testar se o candidato identifica QUAL grandeza foi dividida igualmente — aqui é a distância, não o tempo — combinando isso com equações fracionárias e MMC. É um clássico disfarce de "problema de cinemática" que, na prática, é conta de frações.
• Generalização: sempre que um percurso é dividido em trechos de MESMA distância percorridos a velocidades diferentes, a velocidade média do trajeto todo é a média harmônica das velocidades (não a média aritmética) — por isso somar os inversos das velocidades (1/v) é o caminho certo.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro D/3 (aqui, 900) — se esse número aparecer como alternativa isolada, é a armadilha de "esquecer de multiplicar por 3" (alternativa A); em seguida, desconfie de qualquer alternativa que seja "velocidade única × tempo total" (D e E são exatamente isso, com velocidades diferentes escolhidas).
• Conexões: o mesmo raciocínio de "taxas que se combinam por meio de inversos" aparece em problemas de torneiras enchendo um tanque, de equipes que fazem um trabalho juntas e de resistores em paralelo — todos resolvidos pela lógica da média harmônica.