Questão 139 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Raciocínio lógico e comparação ordinal (critério de desempate em cascata)
• ⚡ Nível: Médio — não exige contas complexas, mas exige entender uma hierarquia de desempate e buscar o valor mínimo que satisfaz a condição pedida
• 🎯 Tema/Habilidade: Interpretação de tabela e aplicação de um critério de desempate hierárquico (ouro → prata → bronze) para posicionar um país em um ranking
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual o menor número de medalhas extras que o Brasil precisaria conquistar para ultrapassar a Austrália (10ª colocada), sem chegar a alcançar a Hungria (9ª colocada)?"
• Palavras-chave decisivas: mínimo, a mais, exatamente na 10ª posição
• Armadilha típica: parar de contar assim que o número de ouros empata com a Austrália — um empate no ouro não decide sozinho a posição, é preciso vencer o critério de desempate seguinte (a prata) para tomar a vaga com exclusividade.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio do desempate em cascata combinado com raciocínio de otimização — encontrar o menor total de medalhas que garante a posição exata, sem "gastar" medalhas além do necessário.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Desempate lexicográfico (hierárquico): os países são ordenados primeiro pelo ouro. Só quando há empate no ouro a prata decide; só quando também há empate na prata é que o bronze decide. Mais ouro sempre vence, não importa a diferença em prata ou bronze.
• Ordenação de dados tabulares: ler uma tabela com três colunas (ouro, prata, bronze) e usá-las em sequência para encaixar um novo elemento — o Brasil — em uma lista já ordenada.
• Superar vs. empatar: para garantir uma posição sem depender do critério seguinte, é preciso vencer estritamente (>) o adversário no critério decisivo; um empate apenas empurra a decisão adiante, sem resolvê-la a favor de ninguém.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "A classificação... deve-se primeiro ao número de medalhas de ouro... Em caso de empate... prata... e, por fim, o de bronze" → fixa a regra de desempate que rege toda a resolução: ouro tem prioridade absoluta.
• Evidência 2 (tabela da imagem): 9º Hungria (8 ouro, 4 prata, 5 bronze); 10º Austrália (7 ouro, 16 prata, 12 bronze); 11º Japão (7 ouro, 14 prata, 17 bronze) → mostra que Austrália e Japão já empatam em ouro (7) e só se separam pela prata (16 > 14); revela o "teto" de 8 ouros que separa a 10ª da 9ª posição.
• Evidência 3: "Brasil obteve 3 medalhas de ouro, 5 de prata e 9 de bronze, classificando-se em 22º lugar" → ponto de partida do Brasil, hoje bem abaixo do trio que ocupa o 9º ao 11º lugar.
• Síntese: o Brasil precisa igualar o patamar de ouro de Austrália e Japão (7) sem alcançar o da Hungria (8); fixado em 7 ouros, o desempate passa para a prata, e o Brasil precisa superar — não apenas empatar — a marca da Austrália para garantir a 10ª posição só para si.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Ajustar o ouro sem ultrapassar a Hungria

O Brasil tem 3 ouros. Com 6 ouros ou menos, ainda ficaria atrás de Austrália e Japão (ambos com 7), pois nenhuma quantidade de prata ou bronze compensa um ouro a menos. Já com 8 ouros, o Brasil empataria com a Hungria e, como já tem mais prata (5 > 4), a superaria — subindo para o 9º lugar, resultado diferente do pedido. Logo, o único valor compatível com "exatamente 10º lugar" é 7 ouros.

→ Acréscimo necessário: 7 − 3 = 4 medalhas de ouro.

Subpasso 4.2 — Resolver o desempate pela prata

Com 7 ouros, o Brasil empata com Austrália e Japão, e a decisão passa para a prata. A Austrália tem 16 pratas (mais que os 14 do Japão), sendo ela quem realmente ocupa a 10ª posição — é ela quem o Brasil precisa vencer nesse critério. Empatar em 16 pratas não resolveria a disputa com exclusividade (o desempate seguiria para o bronze); por isso, o Brasil precisa de no mínimo 17 pratas (16 + 1).

→ Acréscimo necessário: 17 − 5 = 12 medalhas de prata.

Subpasso 4.3 — Verificação

Total mínimo de medalhas extras: 4 (ouro) + 12 (prata) + 0 (bronze, dispensável) = 16 medalhas.

Com esse acréscimo, o Brasil passa a ter 7 ouros, 17 pratas e 9 bronzes:

• Brasil (7, 17, 9) × Hungria (8, 4, 5): Hungria tem mais ouro (8 > 7) → Hungria continua à frente, em 9º. ✔
• Brasil (7, 17, 9) × Austrália (7, 16, 12): empate no ouro; a prata decide (17 > 16) → o Brasil ultrapassa a Austrália. ✔
• Brasil (7, 17, 9) × Japão (7, 14, 17): empate no ouro; a prata decide (17 > 14) → o Brasil também ultrapassa o Japão. ✔

Resultado: Hungria (9º), Brasil (10º), Austrália (11º), Japão (12º) — exatamente a posição pedida, com o menor total possível: 16.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 22

❌ Incorreta: corresponde a tentar superar todos os concorrentes em todas as categorias simultaneamente, como se o desempate fosse cumulativo (ouro + prata + bronze somados sem critério), e não hierárquico — ignora que, resolvido o empate na prata, o bronze deixa de ser necessário.

B) 19

❌ Incorreta: surge de uma estratégia que também funciona, mas gasta medalhas a mais: empatar com a Austrália na prata (+11, chegando a 16) e ainda tentar resolver no bronze (+4, superando os 12 dela), somando 4 + 11 + 4 = 19. É vencer em dois critérios quando bastava vencer com folga em um só (a prata).

C) 17

❌ Incorreta: nasce de um pequeno deslize na desigualdade da prata — tratar "alcançar 16" como quase suficiente e somar uma unidade de segurança mal calculada (13 pratas a mais em vez de 12), chegando a 4 + 13 = 17. O erro é confundir "igualar" com a exigência real de "superar estritamente" a prata da Austrália.

D) 16

✅ Correta: é o resultado exato da estratégia mínima — igualar o ouro de Austrália e Japão (+4) e depois superar estritamente a prata da Austrália (+12), sem mexer no bronze. 4 + 12 = 16.

E) 14

❌ Incorreta: decorre de comparar o Brasil com o país errado no desempate de prata — depois de igualar o ouro (+4), busca superar apenas o Japão (14 pratas, o 11º colocado) em vez da Austrália (16 pratas, que ocupa de fato a 10ª posição), somando 4 + 10 = 14. Mas com 15 pratas o Brasil ainda fica atrás da Austrália (16 > 15), alcançando no máximo o 11º lugar.

🏆 Gabarito: D — o Brasil precisa de exatamente 4 ouros e 12 pratas a mais (16 medalhas no total) para igualar o ouro e superar estritamente a prata da Austrália, alcançando a 10ª posição sem chegar à Hungria.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: qualquer quantidade menor que 16 deixa o Brasil com ouro insuficiente (menos de 7, o que já impede ultrapassar Austrália e Japão) ou com prata insuficiente (16 ou menos, o que mantém a Austrália à frente); valores maiores (17, 19, 22) até resolveriam o problema, mas gastam medalhas além do necessário, contrariando o pedido de mínimo.
• Padrão de cobrança: o ENEM usa tabelas de classificação (esportivas, eleitorais, de desempenho escolar) para testar se o estudante entende critérios de desempate em cascata — um formato recorrente de raciocínio lógico aplicado a dados reais, sem exigir fórmulas decoradas.
• Generalização: em qualquer critério de desempate hierárquico, só se avança para o critério seguinte quando há empate no anterior; para garantir uma posição sem depender de critérios posteriores, é preciso superar estritamente — não apenas igualar — o adversário no critério em que a decisão será tomada.
• Dica de eliminação rápida: identifique primeiro o país que efetivamente ocupa a posição-alvo (aqui, a Austrália, 10ª) — comparar com o país errado (o Japão) gera armadilhas clássicas, como na alternativa E. Depois, calcule a diferença mínima estritamente necessária em cada critério até o desempate se resolver, sem continuar somando em critérios que já não são precisos, como na alternativa B.
• Conexões: relações de ordem e comparação de tuplas (rankings esportivos, concursos com critérios de desempate); interpretação de tabelas em questões de estatística e análise de dados do ENEM.