Questão 178 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (área de trapézio) e proporcionalidade
• ⚡ Nível: Médio — exige montar e resolver duas equações de área do trapézio e, principalmente, interpretar com cuidado o que significa "aumentar a base menor" (diferença, não valor final)
• 🎯 Tema/Habilidade: Área de figuras planas aplicada a um problema de produção proporcional (Competência de Área 2 do ENEM — Grandezas e Medidas)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantos metros a base menor do trapézio precisa crescer para que a produção de camarões suba de 6 000 para 8 400 unidades, mantendo fixas a base maior e a altura?"
• Palavras-chave decisivas: aumentar, base menor, 2 400 unidades
• Armadilha típica: calcular corretamente o novo valor da base menor (39 m) e marcá-lo como resposta final, esquecendo que a pergunta pede o acréscimo, ou seja, a diferença entre a base nova e a base atual.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir uma informação de produção (camarões) em uma grandeza geométrica (área), aplicar a fórmula do trapézio duas vezes — antes e depois da ampliação — e subtrair corretamente os dois valores de base menor.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área do trapézio: A = (B + b)/2 × h, em que B é a base maior, b é a base menor e h é a altura. É a fórmula-chave de toda a questão.
• Trapézio isósceles: os dois lados não paralelos são congruentes, o que garante a simetria da figura, mas essa informação não altera o cálculo de área — ela só existe para justificar o formato físico do viveiro.
• Constante de proporcionalidade: a frase "10 camarões para cada metro quadrado" define uma relação direta N = 10 × A, que permite converter quantidade de camarões em área e vice-versa sempre que precisarmos.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "10 camarões para cada metro quadrado" → define a constante N = 10 × A, a ponte entre produção e geometria.
• Evidência 2: "produção atual correspondente a 6 000 camarões" → permite obter a área hoje ocupada: A(atual) = 6 000 ÷ 10 = 600 m².
• Evidência 3: "aumentar a capacidade produtiva... em 2 400 unidades... modificando apenas a medida da base menor" → a base maior (45 m) e a altura (20 m) permanecem fixas; a nova produção total é 6 000 + 2 400 = 8 400 camarões, logo a nova área é A(nova) = 8 400 ÷ 10 = 840 m².
• Síntese: com B = 45 e h = 20 fixos, basta escrever a equação da área do trapézio duas vezes (uma para 600 m², outra para 840 m²), isolar a base menor em cada caso e depois subtrair os dois resultados — essa subtração é exatamente o "aumento" pedido.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Traduzindo produção em área

Como N = 10 × A, temos A = N ÷ 10.

• Situação atual: A(atual) = 6 000 ÷ 10 = 600 m²
• Situação desejada: nova produção = 6 000 + 2 400 = 8 400 camarões → A(nova) = 8 400 ÷ 10 = 840 m²

Subpasso 4.2 — Determinando a base menor atual (b)

Aplicando A = (B + b)/2 × h com B = 45, h = 20 e A = 600:

(45 + b)/2 × 20 = 600

(45 + b) × 10 = 600

45 + b = 60

b = 15 m

Subpasso 4.3 — Determinando a nova base menor (b')

Repetindo a fórmula, agora com A = 840:

(45 + b')/2 × 20 = 840

(45 + b') × 10 = 840

45 + b' = 84

b' = 39 m

Subpasso 4.4 — Calculando o aumento e verificando

O aumento pedido é a diferença entre a base nova e a base antiga, não o valor de b' isolado:

Δb = b' − b = 39 − 15 = 24 m

Conferindo: com b = 39 m, a área recalculada é (45 + 39)/2 × 20 = 840 m², equivalente a 840 × 10 = 8 400 camarões = 6 000 + 2 400. A verificação bate com o enunciado, confirmando 24 m.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 21

❌ Incorreta: não corresponde a nenhuma das duas equações de área corretamente resolvidas; costuma aparecer quando há um deslize algébrico ao isolar a base menor na primeira equação (por exemplo, dividir por 20 e não reaplicar o fator 2 da fórmula do trapézio antes de subtrair 45), gerando um valor de b menor que 15 e, consequentemente, uma diferença menor que a real.

B) 24

✅ Correta: é exatamente a diferença entre a base menor necessária para produzir 8 400 camarões (39 m) e a base menor atual, que produz 6 000 camarões (15 m). Esse é o único valor que responde à pergunta "em quantos metros ele deverá aumentar" a base menor.

C) 36

❌ Incorreta: surge de erros na manipulação do fator 2 da fórmula da área do trapézio ao isolar a incógnita (por exemplo, esquecer de multiplicar de volta por 2 depois de dividir a área por 10), o que distorce o valor calculado para a base menor e, por consequência, a diferença final.

D) 39

❌ Incorreta: é o valor de b' — a medida final que a base menor deve ter para atingir 8 400 camarões — e não o quanto ela precisa aumentar em relação ao valor atual de 15 m. É a armadilha mais comum da questão, pois exige apenas parar um passo antes do necessário.

E) 54

❌ Incorreta: corresponde à soma das duas bases menores (39 + 15 = 54), um erro típico de quem confunde "aumento" (diferença) com "total" (soma), interpretando de forma equivocada o que o enunciado pede.

🏆 Gabarito: B — a base menor precisa crescer de 15 m para 39 m, e o aumento correspondente é 39 − 15 = 24 m, valor que resulta diretamente da aplicação correta da fórmula da área do trapézio nas duas situações de produção.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a letra B representa a diferença entre a base menor necessária e a base menor atual; todas as outras alternativas ou interrompem o raciocínio em um passo intermediário (D), ou somam em vez de subtrair (E), ou carregam erros de manipulação algébrica (A e C).
• Padrão de cobrança: o ENEM adora contextualizar a fórmula de área (trapézio, triângulo, retângulo, círculo) dentro de um problema de proporcionalidade ou produção, exigindo que o candidato monte duas equações — uma para o estado inicial e outra para o estado final — e depois compare os resultados.
• Generalização: sempre que o enunciado pedir "quanto aumentou/diminuiu" uma grandeza, resolva a situação inicial e a situação final separadamente e só então subtraia os dois resultados; nunca entregue o valor final isolado como se fosse a variação.
• Dica de eliminação rápida: identifique no enunciado qual grandeza deve ser calculada (aqui, "quanto aumentar", não "qual o novo valor"); isso já descarta de cara respostas como o valor final isolado (D) e somas indevidas (E), restando poucas opções plausíveis para conferir com a conta.
• Conexões: área de figuras planas compostas (trapézio, triângulo, retângulo) e problemas de razão/proporção aplicados a contextos de produção agrícola ou industrial, temas recorrentes nas provas de matemática do ENEM.