Questão 166 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Quadrática (domínio real com restrição contextual)
• ⚡ Nível: Fácil — basta ler o gráfico com atenção e identificar onde a trajetória física realmente começa e termina.
• 🎯 Tema/Habilidade: Domínio de uma função quadrática aplicada à modelagem de um fenômeno real (queda/salto); competência de leitura de gráficos e adequação de um modelo matemático ao contexto.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Para quais valores de x a função f(x) representa de fato a trajetória real da pessoa que pula do andaime?"
• Palavras-chave decisivas: domínio, real, trajetória
• Armadilha típica: confundir o domínio "matemático" da parábola (que existiria, em tese, para qualquer x real, inclusive entre as duas raízes) com o domínio "físico" da situação, que é limitado pelo instante em que o pulo começa e pelo instante em que o corpo toca o chão.
• O que a resposta precisa demonstrar: a capacidade de restringir o domínio de uma função quadrática ao intervalo que faz sentido dentro do contexto descrito — nem antes do salto, nem depois do impacto no chão.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função quadrática: f(x) = ax² + bx + c; algebricamente, está definida para todo x real, e seu gráfico é uma parábola.
• Raízes de uma função: valores de x para os quais f(x) = 0, ou seja, pontos onde a curva cruza o eixo x. Toda parábola com concavidade voltada para baixo e vértice acima do eixo x possui duas raízes reais: uma negativa (x₁) e uma positiva (x₂).
• Restrição de domínio por contexto: quando uma função é usada para modelar um fenômeno real (posição, altura, tempo etc.), nem todo o domínio matemático da expressão algébrica é válido — apenas o trecho compatível com a situação descrita deve ser considerado o domínio "de aplicação" da função.
• Leitura de gráficos: habilidade de extrair coordenadas de pontos notáveis (início da curva, vértice, interseções com os eixos) diretamente da representação visual, sem depender da lei de formação explícita.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "pessoa que pula de um andaime até o chão" → o movimento tem um marco inicial nítido (o instante em que os pés deixam a plataforma) e um marco final nítido (o instante em que o corpo toca o solo).
• Evidência 2 (da figura): a curva desenhada começa exatamente no ponto (0; 1,0), no eixo y — coincidindo com a altura da base onde a pessoa está de pé sobre o andaime —, sobe até um ponto de máximo próximo de (0,75; 1,5) e desce até tocar o eixo x em (x₂; 0), com x₂ situado perto de 2,0 m.
• Evidência 3: "Seja D o domínio da função f(x), como definida na figura" → o próprio enunciado sinaliza que apenas o trecho desenhado no gráfico interessa; a curva não foi traçada nem para x negativo nem para além de x₂, exatamente porque fora desse intervalo ela deixa de representar o pulo.
• Síntese: o intervalo de x com sentido físico começa em 0 (largada do salto, saída do andaime) e termina em x₂ (chegada ao chão, onde y = 0). Esse é o recorte que o domínio D precisa reproduzir — nem mais, nem menos.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar o instante inicial do movimento

Observando a figura, o pé da pessoa deixa o andaime exatamente no ponto (0; 1,0): x = 0 marca o instante em que o pulo começa, pois o eixo y foi posicionado ali de propósito, na vertical que passa pela borda da plataforma. Não existe "antes de pular" para essa função: para x < 0 a pessoa ainda estaria parada sobre o andaime, e esse trecho nem foi desenhado no gráfico — não faz parte da trajetória de queda. Logo, o menor valor possível para o domínio é x = 0.

Subpasso 4.2 — Identificar o instante final do movimento

Seguindo a curva a partir da largada, ela sobe até um ponto de máximo aproximado em (0,75; 1,5) — o ápice do salto, quando a pessoa atinge a maior altura — e, a partir daí, desce continuamente até cruzar o eixo x no ponto (x₂; 0), com x₂ ≈ 2,0 m. Esse cruzamento é o instante em que y = f(x₂) = 0, ou seja, a pessoa toca o chão. Matematicamente a parábola continuaria existindo para x > x₂ (assumindo valores negativos de y), mas fisicamente isso não tem sentido: uma vez no chão, a pessoa não "afunda" abaixo de y = 0.

Subpasso 4.3 — Verificação

Unindo os dois extremos identificados, o trecho da parábola que de fato descreve o pulo é o intervalo fechado entre a saída do andaime (x = 0) e o toque no chão (x = x₂, a raiz positiva de f). Portanto, D = {x ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ x₂}. Comparando esse resultado com o texto de cada alternativa, ele coincide exatamente com o enunciado da alternativa B. A outra raiz da equação f(x) = 0, chamada aqui de x₁, é negativa e corresponde a um ponto puramente algébrico da parábola — sem representar nenhum instante real do movimento, já que o salto nunca ocorre para x < 0.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) {x₂}, sendo x₂ a raiz positiva de f(x).

❌ Incorreta: é um conjunto unitário, contendo apenas o instante final do pulo (o momento exato em que a pessoa toca o chão). O domínio de uma trajetória precisa reunir todos os instantes do movimento, do início ao fim, e não se resumir a um único ponto.

B) {x ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ x₂}, sendo x₂ a raiz positiva de f(x).

✅ Correta: é exatamente o intervalo fechado entre o início do salto (x = 0, saída do andaime, ponto (0; 1,0) na figura) e o fim do salto (x = x₂, chegada ao chão, onde f(x₂) = 0). Esse é o único trecho da parábola que corresponde à trajetória real da pessoa.

C) {x ∈ ℝ | x₁ ≤ x ≤ x₂}, sendo x₁ e x₂ raízes de f(x), com x₁ < x₂.

❌ Incorreta: inclui x₁, a raiz negativa da função. Como x representa a posição horizontal medida a partir do instante em que o pulo começa, valores negativos de x não têm significado físico nessa situação — o movimento não "começa antes de x = 0". Essa alternativa alarga o domínio para uma região que não faz parte do salto descrito na figura.

D) {x ∈ ℝ | x ≥ 0}.

❌ Incorreta: acerta o limite inferior (x = 0), mas é um conjunto ilimitado à direita, incluindo valores de x maiores que x₂ — ou seja, instantes posteriores ao momento em que a pessoa já tocou o chão. Para x > x₂, a função assumiria valores de y negativos, o que não descreve mais nenhuma posição real da pessoa em queda.

E) x ∈ ℝ.

❌ Incorreta: é o domínio "natural" da expressão algébrica ax² + bx + c, válido para qualquer x real, mas ignora por completo a restrição imposta pelo contexto físico do problema — inclui tanto x < 0 (antes de a pessoa pular) quanto x > x₂ (depois de ela já estar no chão).

🏆 Gabarito: B — o domínio real da trajetória é o intervalo fechado entre o início do pulo (x = 0, saída do andaime) e o instante em que a pessoa toca o chão (x = x₂, raiz positiva de f), único trecho da parábola com significado físico na situação descrita.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: B é a única alternativa que delimita o domínio exatamente entre o início do movimento (x = 0) e seu término físico (x = x₂, a raiz positiva de f), sem incluir trechos que não pertencem ao pulo real.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma usar gráficos de funções quadráticas para modelar situações físicas — lançamento de projétil, queda, salto, arremesso — cobrando do estudante a distinção entre o domínio "matemático" da função e o domínio "físico"/contextual da situação representada.
• Generalização: sempre que uma função é usada para modelar um fenômeno do mundo real, seu domínio de aplicação deve ser restrito ao intervalo da variável independente que tem sentido dentro do contexto (posição não-negativa, tempo a partir de um marco inicial, trajeto entre início e fim), mesmo que a lei de formação algébrica exista para todo x real.
• Dica de eliminação rápida: primeiro descarte os domínios ilimitados, que "vazam" para além da situação real (E é ilimitado nos dois sentidos; D vaza para além do chão); depois descarte o conjunto que não é um intervalo contínuo cobrindo o pulo inteiro (A é só um ponto); do que sobra, o que começa exatamente onde a pessoa se solta do andaime (x = 0) e termina onde ela toca o chão (raiz positiva) é a resposta certa.
• Conexões: restrição de domínio em problemas de otimização (por exemplo, dimensões de uma caixa sem tampa, área máxima de um terreno); leitura da função horária da posição em Física (lançamento oblíquo, queda livre, MRUV) usando o mesmo raciocínio de "intervalo de tempo fisicamente válido".