Questão 176 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Estatística (Média Aritmética) e Equações/Inequações do 1º grau
• ⚡ Nível: Médio — a conta em si é simples, mas exige traduzir com precisão uma frase narrativa ("no mínimo uma hora a menos") em uma inequação matemática correta
• 🎯 Tema/Habilidade: Média aritmética aplicada à resolução de problemas do cotidiano com uso de inequações (competência ligada ao tratamento de dados e grandezas no ENEM)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é o maior número de horas que o filho pode usar o celular no sábado da semana 2, de forma que a média diária dessa semana fique pelo menos 1 hora abaixo da média da semana 1?"
• Palavras-chave decisivas: "no mínimo, uma hora a menos", "a mesma da primeira semana", "quantidade máxima"
• Armadilha típica: trocar o sentido da desigualdade — interpretar "uma hora a menos" como "a média pode variar até uma hora para mais ou para menos", ou esquecer que só o sábado muda, recalculando errado a soma dos outros seis dias.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar corretamente a inequação (média₂ ≤ média₁ − 1) e resolvê-la isolando a incógnita para encontrar o maior valor inteiro possível de horas no sábado.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Média aritmética: soma de todos os valores de um conjunto dividida pela quantidade de valores. Aqui, soma das horas de uso nos 7 dias dividida por 7.
• Tradução de linguagem natural em inequação: a expressão "no mínimo uma hora a menos" indica um limite superior para a nova média, ou seja, média₂ ≤ (média₁ − 1). O símbolo "≤" aparece porque "no mínimo uma hora a menos" permite reduções ainda maiores, mas não permite reduções menores que 1 hora.
• Resolução de inequação do 1º grau: para isolar a incógnita x, aplicam-se as mesmas operações de uma equação, preservando o sentido da desigualdade sempre que se multiplica ou divide por número positivo (como ao multiplicar por 7).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "segunda: 5; terça: 2; quarta: 9; quinta: 2; sexta: 8; sábado: 12; domingo: 4" → fornece os 7 valores da semana 1, necessários para calcular a média de referência.
• Evidência 2: "a média diária de uso na segunda semana fosse, no mínimo, uma hora a menos do que a média diária na primeira semana" → define a condição matemática central: média₂ ≤ média₁ − 1.
• Evidência 3: "Ao longo dos demais dias da segunda semana, a quantidade de horas de uso do aparelho seria a mesma da primeira semana" → garante que apenas o valor do sábado muda; os outros seis dias mantêm os valores da semana 1, o que permite tratar a soma desses seis dias como uma constante.
• Síntese: o problema se resume a: calcular a média fixa da semana 1, definir o teto da média da semana 2, montar a soma dos seis dias inalterados + variável x (sábado) e resolver a inequação para achar o maior x possível.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular a média da primeira semana

Soma dos 7 dias:

5 + 2 + 9 + 2 + 8 + 12 + 4 = 42

Média₁ = 42 ÷ 7 = 6 horas por dia

Subpasso 4.2 — Montar a inequação da segunda semana

Seja x a quantidade de horas de uso no sábado da segunda semana (incógnita a ser encontrada).

Os demais seis dias repetem os valores da semana 1:

5 + 2 + 9 + 2 + 8 + 4 = 30

Logo, a soma da semana 2 é (30 + x), e a média₂ é:

Média₂ = (30 + x) ÷ 7

A condição dos pais é que essa média seja, no mínimo, 1 hora menor que a média₁ (6 horas), ou seja, no máximo 6 − 1 = 5 horas:

(30 + x) ÷ 7 ≤ 5

Subpasso 4.3 — Resolver e verificar

Multiplicando os dois lados por 7 (número positivo, mantém o sentido da desigualdade):

30 + x ≤ 35

x ≤ 35 − 30

x ≤ 5

Como a questão pede a quantidade máxima de horas que ainda atende à meta, o maior valor possível é x = 5.

Verificação: com x = 5, a soma da semana 2 é 30 + 5 = 35, e a média₂ = 35 ÷ 7 = 5 horas — exatamente 1 hora a menos que os 6 horas da semana 1, cumprindo a condição "no mínimo uma hora a menos" no limite exato. Se x fosse 6, a soma seria 36, e a média₂ = 36 ÷ 7 ≈ 5,14 horas, uma redução de apenas ≈ 0,86 hora — inferior a 1 hora, o que descumpre o planejamento dos pais. Isso confirma que 5 é, de fato, o teto.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 4

❌ Incorreta: satisfaz a inequação (4 ≤ 5), pois reduziria a média ainda mais do que o necessário, mas não é o valor máximo pedido. A questão pergunta pela maior quantidade de horas ainda compatível com a meta, e existe um valor maior (5) que também atende à condição.

B) 5

✅ Correta: é exatamente o valor-limite obtido ao resolver a inequação (30 + x) ÷ 7 ≤ 5, ou seja, x ≤ 5. Usar 5 horas no sábado produz média₂ = 5, que é precisamente 1 hora a menos que a média₁ de 6 horas — a redução mínima exigida, no maior valor de x possível.

C) 6

❌ Incorreta: com x = 6, a média da semana 2 sobe para 36 ÷ 7 ≈ 5,14 horas, reduzindo o consumo em menos de 1 hora em relação à média da semana 1. Esse valor viola a condição de que a queda deveria ser de, no mínimo, uma hora — é um erro comum de quem esquece de testar o limite da desigualdade.

D) 10

❌ Incorreta: valor bem próximo do original (12 horas do sábado da semana 1), o que mal reduziria o consumo total e deixaria a média da semana 2 muito acima de 5 horas, descumprindo totalmente o planejamento de redução dos pais.

E) 11

❌ Incorreta: pelo mesmo motivo da alternativa D, mas de forma ainda mais evidente — um valor tão alto praticamente mantém o padrão de uso do sábado da semana 1 (12 horas), impedindo qualquer redução relevante na média semanal.

🏆 Gabarito: B — resolvendo a inequação (30 + x) ÷ 7 ≤ 5, obtém-se x ≤ 5; como a pergunta exige o valor máximo de horas que ainda cumpre a meta dos pais, a resposta é exatamente 5 horas.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra B é a única que corresponde ao valor-limite exato da inequação (30 + x) ÷ 7 ≤ 5; qualquer valor menor (como 4) atende à condição sem ser o máximo, e qualquer valor maior (6, 10 ou 11) viola a exigência de redução de pelo menos 1 hora.
• Padrão de cobrança: o ENEM frequentemente cobra médias combinadas com metas de desempenho (nota mínima, consumo máximo, gasto limitado), sempre pedindo para transformar uma frase do tipo "no mínimo/no máximo tanto a mais/a menos" em uma desigualdade algébrica.
• Generalização: sempre que o enunciado fixar quase todos os valores de um conjunto e deixar apenas um termo variável, escreva a soma dos valores fixos como uma constante, monte a expressão da média com essa constante mais a incógnita, e resolva a inequação resultante isolando a incógnita — o cuidado maior está em manter o sentido correto da desigualdade.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro a média original (aqui, 6) e o teto da nova média (aqui, 5); alternativas muito próximas do valor original de sábado (10 e 11) podem ser eliminadas de cara, pois mal alterariam a média — sobra decidir entre os valores baixos comparando com o resultado exato da inequação.
• Conexões: este tipo de questão se conecta com problemas de média ponderada, sistemas de inequações e interpretação de metas numéricas em contextos de saúde, finanças pessoais e desempenho escolar, temas recorrentes nas provas de matemática do ENEM.