Questão 149 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Inequações lineares e otimização com restrição mínima
• ⚡ Nível: Médio — a montagem é simples, mas exige perceber que os dias "sem desconto máximo" devem operar no melhor ritmo disponível (desconto mínimo), e não no ritmo original sem desconto
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de uma situação-problema com inequação do 1º grau para encontrar o menor valor de uma variável que ainda garanta o cumprimento de uma meta mínima
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Nos 20 dias que restam no mês, qual é o menor número de dias com desconto máximo (5 carros/dia) necessário para que a concessionária ainda consiga vender, no total do mês, pelo menos 104 carros?"
• Palavras-chave decisivas: "pelo menos", "menor quantidade", "ainda seja possível"
• Armadilha típica: usar 3 carros/dia (ritmo sem desconto) para os dias que não terão desconto máximo, esquecendo que existe uma terceira opção — o desconto mínimo, que vende 4 carros/dia e é mais vantajoso para reduzir a necessidade de desconto máximo
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir o texto em uma única inequação linear, após escolher a estratégia ótima para os demais dias, e resolvê-la para o menor inteiro possível

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Inequação do 1º grau: representa restrições do tipo "pelo menos" ou "no máximo", cuja solução é um intervalo de valores (aqui, x ≥ 6), e não um único número.
• Otimização com uma variável: para minimizar uma grandeza sujeita a uma condição, isola-se essa variável e adota-se, para as demais parcelas, o cenário mais favorável que o enunciado permite.
• Arredondamento de variáveis discretas: como "número de dias" só admite inteiros, a solução de x ≥ 5,4 deve subir para x = 6 — nunca descer, senão a meta não é cumprida.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "meta de... vender, pelo menos, 104 carros por mês" → a inequação mestra é total de vendas ≥ 104, não uma igualdade exata.
• Evidência 2: "até o fim do expediente do sexto dia... foram vendidos 18 carros" → parte da meta já foi cumprida (6 × 3 = 18); resta vender 104 − 18 = 86 carros.
• Evidência 3: "a menor quantidade de dias... de modo que ainda seja possível alcançar a meta" → pede o cenário mais otimista para os dias restantes: eles devem render o máximo possível sem ser desconto máximo, isto é, desconto mínimo (4/dia), e não sem desconto (3/dia).
• Síntese: o problema se reduz a distribuir os 20 dias restantes entre "desconto máximo" (5/dia) e "desconto mínimo" (4/dia, a melhor alternativa) de modo que a soma seja ≥ 86, buscando o menor número de dias de desconto máximo que torna isso possível.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Quantificando o que ainda falta

Meta do mês: 104 carros. Já vendidos nos 6 primeiros dias: 6 × 3 = 18 carros (confirmado pelo enunciado, "conforme indicava a média"). Faltam, portanto: 104 − 18 = 86 carros, a serem vendidos nos 20 dias restantes.

Subpasso 4.2 — Montando e resolvendo a inequação

Seja x o número de dias, entre os 20 restantes, com desconto máximo (5 carros/dia). Logo, (20 − x) é o número de dias sem desconto máximo. Para que x seja o MENOR possível, esses (20 − x) dias precisam vender o máximo que puderem sem desconto máximo — ou seja, todos com desconto mínimo (4 carros/dia).

Inequação:

5x + 4(20 − x) ≥ 86

5x + 80 − 4x ≥ 86

x + 80 ≥ 86

x ≥ 6

Subpasso 4.3 — Verificação

Como x precisa ser inteiro, o menor valor que satisfaz x ≥ 6 é x = 6. Conferindo: 6×5 + 14×4 = 30 + 56 = 86 carros nos 20 dias; somando aos 18 já vendidos, 30 + 56 + 18 = 104 — bate exatamente a meta. ✓

Testando um dia a menos (x = 5): 5×5 + 4×15 = 85; total do mês = 85 + 18 = 103 < 104 — a meta não é atingida, o que confirma x = 6 como o menor valor possível.

Atalho de conferência: a média ideal para fechar 104 carros em 26 dias é 104 ÷ 26 = 4/dia — o próprio ritmo do desconto mínimo. Os 6 primeiros dias, a 3/dia, geraram um déficit de 6 carros frente a essa média; só o desconto máximo (1 carro/dia acima do ideal) recupera esse déficit, um por um — logo, 6 dias. Dois caminhos, o mesmo x = 6.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 6.

✅ Correta: é exatamente o menor inteiro que satisfaz x ≥ 6 — com 6 dias de desconto máximo e 14 dias de desconto mínimo, a concessionária fecha o mês com precisão em 104 carros.

B) 10.

❌ Incorreta: 10 dias de desconto máximo até garantem a meta (5×10 + 4×10 = 90 ≥ 86), mas geram folga de 4 carros além do necessário. O erro é parar em um valor "seguro" qualquer sem isolar algebricamente a fronteira exata da inequação — a questão pede a MENOR quantidade, não uma quantidade meramente suficiente.

C) 11.

❌ Incorreta: mesmo equívoco de B — 5×11 + 4×9 = 91 ≥ 86 também cumpre a meta, com folga ainda maior. Não é o valor mínimo pedido, e sim mais um ponto qualquer dentro do intervalo-solução x ≥ 6, escolhido sem resolver a inequação até seu limite exato.

D) 13.

❌ Incorreta: nasce do erro conceitual mais comum da questão — usar 3 carros/dia (sem desconto) em vez de 4 carros/dia (desconto mínimo) para os dias sem desconto máximo, como se essa opção intermediária não existisse. Resolvendo 5x + 3(20 − x) ≥ 86 chega-se a x ≥ 13 (5×13 + 3×7 = 86, exato) — mas isso ignora que a concessionária pode usar desconto mínimo nos demais dias, o que derruba a real necessidade para 6.

E) 18.

❌ Incorreta: vem de um erro ainda mais radical — supor que só os dias de desconto máximo geram vendas, descartando a contribuição dos demais. Isso leva a 5x ≥ 86 → x ≥ 17,2 → x = 18. Esse raciocínio ignora tanto o desconto mínimo quanto o ritmo-base sem desconto, superestimando a necessidade de desconto máximo.

🏆 Gabarito: A — 6 é o menor número inteiro de dias com desconto máximo que, somado a 14 dias com desconto mínimo, garante que a concessionária alcance exatamente sua meta de 104 carros no mês.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa A é o ponto exato da fronteira x ≥ 6; um valor menor deixa a meta sem cumprir (x = 5 dá 103 carros), e um valor maior cumpre a meta com folga desnecessária (B, C) ou parte de premissas erradas sobre as taxas (D, E).
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma contextualizar inequações lineares em metas mínimas de produção, vendas ou consumo, pedindo o menor (ou maior) valor de uma variável que ainda satisfaça a restrição.
• Generalização: para minimizar uma variável sujeita a uma meta "pelo menos": (1) calcule o que falta; (2) escolha, para as demais unidades, a melhor alternativa diferente da variável a minimizar; (3) monte uma inequação linear; (4) resolva e arredonde para cima se a variável for discreta.
• Dica de eliminação rápida: veja se a alternativa "bate" exatamente com o que falta usando a melhor combinação possível — folga grande (B, C) indica que não é a mínima; raciocínio que só funciona ignorando uma taxa dada no texto (D, E) indica erro conceitual.
• Conexões: sistemas de inequações lineares; programação linear com restrição de meta mínima; interpretação de enunciados com múltiplas taxas simultâneas.