Questão 145 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (área do quadrado), Porcentagem e Arredondamento aplicado à Otimização de Custos
• ⚡ Nível: Difícil — exige dois cálculos percentuais distintos, dois arredondamentos por excesso (peças e caixas) e uma comparação final entre dois cenários completos.
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de problema contextualizado envolvendo área, razão/proporção e tomada de decisão por custo mínimo (Grandezas e Medidas aplicadas ao cotidiano).
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule o custo final de cada projeto de revestimento — já incluindo a reserva de peças recomendada e o arredondamento para caixas fechadas — e aponte o menor valor entre eles."
• Palavras-chave decisivas: 25% a mais, 10% maior, menor custo
• Armadilha típica: arredondar o número de caixas para baixo (ou "para o mais próximo") em vez de sempre para cima, e/ou trocar os percentuais de reserva entre os dois projetos.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio da área do quadrado, aplicação correta de acréscimo percentual sobre uma contagem de peças, conversão de peças soltas em caixas fechadas (arredondamento por excesso) e comparação numérica entre dois cenários completos.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área do quadrado: A = l² — usada para descobrir quantas peças "exatas" cobririam os 36 m² sem sobra nenhuma, em cada projeto.
• Acréscimo percentual: quantidade final = quantidade base × (1 + i). Aqui i = 0,25 no Projeto A e i = 0,10 no Projeto B, aplicados sobre o número de peças exato de cada projeto — nunca sobre o preço.
• Arredondamento por excesso (função teto): sempre que uma divisão representa "quantas caixas fechadas comprar", um resultado não inteiro é arredondado para cima — a loja não vende meia caixa, e comprar a menos deixaria o piso incompleto.
• Custo total como critério de decisão: custo = nº de caixas × preço da caixa. "Menor custo" compara os dois totais finais, não o preço unitário de cada caixa isoladamente — R$ 60,00 parece "mais caro" que R$ 40,00, mas isso sozinho não determina o vencedor.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "sala... com área total de 36 m²" → esse é o único dado de área necessário; as dimensões específicas do retângulo não interferem na contagem de peças, apenas a área total.
• Evidência 2: "diagonal do quadrado seja paralela ao contorno" (Projeto A) versus "os lados do quadrado sejam paralelos ao contorno" (Projeto B) → assentamentos diferentes explicam por que a reserva recomendada é maior no A: peças giradas na diagonal geram mais recortes triangulares incompletos junto às paredes do que peças assentadas retas, daí 25% de reserva contra apenas 10%.
• Evidência 3: "25% a mais" e "10% maior... do que o valor exato da área de recobrimento" → são os multiplicadores 1,25 e 1,10 que devem ser aplicados sobre o número de peças calculado a partir da área, e não sobre o preço da caixa.
• Síntese: a questão exige duas simulações completas e independentes — peças exatas → peças com reserva → caixas fechadas → custo — encerradas por uma comparação que aponta o menor valor entre elas.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Projeto A: peças, reserva e caixas

Área de cada peça: 0,60 m × 0,60 m = 0,36 m².

Peças exatas para cobrir a sala: 36 ÷ 0,36 = 100 peças.

Reserva de 25%: 100 × 1,25 = 125 peças necessárias.

Caixas: 125 ÷ 10 = 12,5 → como não existe meia caixa à venda, arredonda-se para cima: 13 caixas.

Custo do Projeto A: 13 × R$ 60,00 = R$ 780,00.

Subpasso 4.2 — Projeto B: peças, reserva e caixas

Área de cada peça: 0,40 m × 0,40 m = 0,16 m².

Peças exatas para cobrir a sala: 36 ÷ 0,16 = 225 peças.

Reserva de 10%: 225 × 1,10 = 247,5 peças → arredonda-se para cima: 248 peças necessárias.

Caixas: 248 ÷ 12 ≈ 20,67 → arredonda-se para cima: 21 caixas.

Custo do Projeto B: 21 × R$ 40,00 = R$ 840,00.

Subpasso 4.3 — Verificação

R$ 780,00 (Projeto A) < R$ 840,00 (Projeto B) → o cliente, que busca o menor custo, deve optar pelo Projeto A.

Conferindo por outro caminho, o preço por m² sem reserva: Projeto A custa (60 ÷ 10) ÷ 0,36 ≈ R$ 16,67/m²; Projeto B custa (40 ÷ 12) ÷ 0,16 ≈ R$ 20,83/m². Mesmo exigindo mais reserva (25% contra 10%), a peça do Projeto A é proporcionalmente mais barata por metro quadrado — o que confirma, por dois caminhos diferentes, que R$ 780,00 é de fato o menor custo possível. O valor bate exatamente com a alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) R$ 600,00.

❌ Incorreta: resulta de ignorar totalmente a reserva de 25% do Projeto A (100 peças ÷ 10 = 10 caixas × R$ 60,00 = R$ 600,00). É o erro de tratar a "quantidade exata" de peças como se já fosse a quantidade final de compra, esquecendo a margem de segurança que o próprio vendedor informa ser obrigatória.

B) R$ 660,00.

❌ Incorreta: surge quando se aplica por engano a taxa de reserva do Projeto B (10%) ao Projeto A, em vez dos 25% corretos (100 × 1,10 = 110 peças ÷ 10 = 11 caixas × R$ 60,00 = R$ 660,00). É a armadilha clássica de trocar os percentuais de reserva entre os dois projetos.

C) R$ 720,00.

❌ Incorreta: aparece quando as 125 peças do Projeto A estão corretas, mas o candidato arredonda 125 ÷ 10 = 12,5 para baixo (12 caixas × R$ 60,00 = R$ 720,00) em vez de para cima. Esse erro ignora que caixas incompletas não existem à venda: 12 caixas dariam apenas 120 peças, cinco a menos do que as 125 necessárias.

D) R$ 780,00.

✅ Correta: é exatamente o custo do Projeto A calculado com a reserva de 25% e o arredondamento correto para 13 caixas fechadas — e esse valor é inferior ao custo do Projeto B, satisfazendo o critério de "menor custo" exigido pelo enunciado.

E) R$ 840,00.

❌ Incorreta: é o custo total do Projeto B, calculado corretamente — mas esse não é o menor valor entre os dois projetos. Quem marca essa alternativa provavelmente se deixou enganar pelo preço de caixa aparentemente mais baixo (R$ 40,00 contra R$ 60,00), sem perceber que o Projeto B exige mais que o dobro de peças (225 contra 100) para cobrir a mesma área.

🏆 Gabarito: D — O Projeto A, mesmo exigindo 25% de peças extras, fecha em R$ 780,00, valor inferior aos R$ 840,00 do Projeto B, e esse é o menor custo que o cliente efetivamente pagará.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: nenhuma outra sequência de cálculo correta chega a um valor diferente de R$ 780,00 para o cenário mais barato; toda variação (600, 660, 720, 840) nasce de pular alguma etapa — reserva percentual, arredondamento correto ou comparação final entre os projetos.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra recorrentemente "problemas de revestimento" (piso, parede, grama, cerca), nos quais se calcula quantas unidades de material cabem em uma área ou perímetro, aplica-se uma margem de segurança percentual e converte-se o total em embalagens fechadas.
• Generalização: sempre que o produto é vendido em pacotes fechados, o número de pacotes é o teto (arredondamento para cima) da divisão "quantidade necessária ÷ quantidade por pacote" — nunca o inteiro mais próximo, nunca para baixo.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro as quantidades "exatas" de peças de cada projeto (100 e 225, ambas redondas); qualquer alternativa que não resulte de um múltiplo compatível do preço da caixa correspondente (60 ou 40) após o arredondamento correto já pode ser descartada em segundos.
• Conexões: problemas de acréscimo/desconto percentual, arredondamento por excesso (função teto) em situações de compra por embalagem, e questões de otimização por comparação entre dois ou mais cenários — padrão também comum em problemas de consumo de combustível e de pintura de paredes no ENEM.