Questão 150 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (volume de prisma hexagonal regular e de cilindro circular reto)
• ⚡ Nível: Médio — exige lembrar a fórmula da área do hexágono regular (pouco usada no dia a dia) e aplicar com precisão duas fórmulas de volume usando as aproximações fornecidas.
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo e comparação de volumes de sólidos geométricos (prisma × cilindro) em situação-problema do cotidiano — competência de resolver problemas com grandezas geométricas.
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule o volume de cada caneca (prisma hexagonal e cilindro) e informe, em cm³, a capacidade da caneca de maior volume."
• Palavras-chave decisivas: maior capacidade, prisma reto regular hexagonal, cilindro circular reto
• Armadilha típica: calcular corretamente os dois volumes, mas marcar o valor do cilindro (279 cm³, alternativa B) por esquecer de comparar qual é o maior; ou usar o diâmetro no lugar do raio na fórmula do cilindro.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio das fórmulas de volume de prisma reto e de cilindro reto, aplicação correta das aproximações π = 3,1 e √3 = 1,7, e capacidade de comparar dois resultados numéricos para escolher o maior.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área do hexágono regular: todo hexágono regular de lado L se decompõe em 6 triângulos equiláteros de lado L. Como a área de um triângulo equilátero é (√3/4)L², a área do hexágono é 6 × (√3/4)L² = (3√3/2)L².
• Volume de prisma reto: V = (área da base) × (altura); para o hexagonal regular, V = (3√3/2)L² × h.
• Volume de cilindro circular reto: V = π r² × h, em que r é o raio — metade do diâmetro (r = d/2).
• Comparação de volumes: com "a caneca de maior capacidade", calcula-se cada volume separadamente e compara-se; a resposta é o valor do maior, não a diferença nem a soma entre eles.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "a caneca A tem formato de um prisma reto regular hexagonal de lado L = 4 cm" → define o sólido A e fornece L = 4, necessário na fórmula (3√3/2)L².
• Evidência 2: "a caneca B tem formato de um cilindro circular reto de diâmetro d = 6 cm" → define o sólido B; atenção: o enunciado dá o diâmetro, e a fórmula do cilindro usa o raio, logo r = 6/2 = 3 cm.
• Evidência 3: "ambas têm a mesma altura h = 10 cm" e "Considere π = 3,1 e √3 = 1,7" → altura comum simplifica a comparação, e as aproximações devem ser usadas exatamente como estão (nunca π = 3,14 nem √3 = 1,73), pois o gabarito depende delas.
• Síntese: a questão exige montar as duas expressões de volume, calcular cada uma isoladamente, comparar os resultados e reportar o volume da caneca vencedora — exatamente o que pede "essa pessoa escolherá a caneca com maior capacidade".

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Volume da caneca A (prisma hexagonal regular)

Área da base hexagonal: A_hex = (3√3/2) × L² = (3 × 1,7 ÷ 2) × 4² = (5,1 ÷ 2) × 16 = 2,55 × 16 = 40,8 cm².

Volume: V_A = A_hex × h = 40,8 × 10 = 408 cm³.

Subpasso 4.2 — Volume da caneca B (cilindro circular reto)

Raio: r = d ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3 cm.

Volume: V_B = π × r² × h = 3,1 × 3² × 10 = 3,1 × 9 × 10 = 27,9 × 10 = 279 cm³.

Subpasso 4.3 — Verificação: comparação e escolha da caneca

Comparando os dois volumes: V_A = 408 cm³ e V_B = 279 cm³, logo V_A > V_B (408 > 279). A pessoa escolherá a caneca A, cuja capacidade é 408 cm³ — valor que aparece exatamente entre as alternativas, o que confirma a consistência da conta.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 186.

❌ Incorreta: não corresponde a nenhum volume calculado corretamente. Costuma surgir de trocas de dados na fórmula do hexágono (por exemplo, usar L = 3 em vez de L = 4, ou aplicar apenas parte da fórmula da área), gerando um valor abaixo até do volume do cilindro.

B) 279.

❌ Incorreta: é o volume real da caneca B (cilindro), calculado corretamente — mas é o menor dos dois volumes, não o da caneca escolhida. Quem para de calcular após achar o volume do cilindro, ou esquece de comparar com o prisma, marca essa alternativa por engano.

C) 408.

✅ Correta: é o volume da caneca A (prisma hexagonal regular), obtido por V = (3√3/2)L² × h = 408 cm³, maior que os 279 cm³ da caneca B. Como o enunciado pede a capacidade da caneca de maior volume, 408 cm³ é a resposta.

D) 816.

❌ Incorreta: é exatamente o dobro de 408 cm³. Surge do erro clássico de esquecer o fator ½ na fórmula da área do hexágono, calculando 3√3 × L² em vez de (3√3/2) × L², o que duplica indevidamente a área da base e, consequentemente, o volume.

E) 1 116.

❌ Incorreta: não corresponde a nenhuma etapa válida do cálculo (nem à soma 408 + 279 = 687, nem a qualquer produto direto dos dados fornecidos). É um valor-armadilha para quem erra várias casas decimais ou multiplica grandezas de sólidos diferentes entre si sem sentido geométrico.

🏆 Gabarito: C — a caneca A (prisma hexagonal regular) tem volume 408 cm³, maior que os 279 cm³ do cilindro da caneca B, sendo portanto a caneca de maior capacidade e a resposta correta da questão.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas a alternativa C (408 cm³) representa o volume da caneca de maior capacidade, obtido com V = (3√3/2)L² × h no prisma e V = π r² h no cilindro, usando as aproximações do enunciado.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente cobra volumes de sólidos geométricos (prismas, cilindros, cones, pirâmides, esferas) em contextos do cotidiano — embalagens, recipientes, reservatórios —, sempre fornecendo aproximações para π e raízes, para que o candidato só precise substituir valores com atenção.
• Generalização: em questões do tipo "qual sólido tem maior capacidade", calcule cada volume separadamente por (área da base) × (altura), usando SEMPRE as aproximações do enunciado — nunca π = 3,14 "decorado" — e só depois compare os resultados finais.
• Dica de eliminação rápida: ao comparar um sólido "anguloso" (hexágono) com um "arredondado" (círculo) de dimensões próximas e mesma altura, desconfie que o polígono terá maior área de base e volume; e confira sempre se a alternativa marcada é o volume do sólido pedido ("o maior"), não do outro — esse é o erro mais comum aqui (cair na alternativa B).
• Conexões: volume de pirâmides e cones (fator 1/3), área de polígonos regulares via triângulos equiláteros, razão entre volumes de sólidos semelhantes.