Questão 173 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Sistemas Lineares (3 equações e 3 incógnitas)
• ⚡ Nível: Difícil — exige montar um sistema 3×3 a partir de um texto longo e depois usar os valores encontrados em um segundo cálculo, o que multiplica as chances de erro de interpretação ou de conta.
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de sistemas lineares aplicados a situações-problema do cotidiano (Competência de Área 5 — construir noções de variação de grandezas para compreensão da realidade e resolução de problemas).
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descubra quanto custam 1 kg de arroz e 2 kg de macarrão juntos, sabendo o total gasto por cada amigo."
• Palavras-chave decisivas: pagou, troco, 1 quilo de arroz e dois quilos de macarrão
• Armadilha típica: confundir o valor pago (nota entregue) com o valor efetivamente gasto na compra — o valor que interessa para montar o sistema é sempre pago − troco, e não o valor da nota isoladamente.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir um enunciado narrativo em um sistema de três equações lineares, resolvê-lo corretamente e depois aplicar os valores unitários encontrados na combinação específica pedida (1 arroz + 2 macarrão), não na compra completa de nenhum dos três amigos.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Sistema linear 3×3: três equações do primeiro grau com três incógnitas (preços unitários de arroz, feijão e macarrão) que devem ser satisfeitas simultaneamente.
• Método da substituição: isolar uma variável na equação mais simples e substituí-la nas demais, reduzindo o número de incógnitas até restar uma equação com uma só variável.
• Tradução de dado financeiro em equação: "pagou X e recebeu troco Y" equivale, em álgebra, ao gasto real da compra: gasto = X − Y. Esse valor vai ao lado direito da equação de cada amigo.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (tabela): A comprou 3 kg de arroz, 2 kg de feijão e 4 kg de macarrão; B comprou 2 kg de arroz, 3 kg de feijão e 3 kg de macarrão; C comprou 2 kg de arroz, 2 kg de feijão e 2 kg de macarrão → essas quantidades formam os coeficientes de cada equação do sistema.
• Evidência 2 (pagamentos): B pagou R$ 40,00 com troco de R$ 7,30 (gastou R$ 32,70); A pagou R$ 40,00 com troco de R$ 4,00 (gastou R$ 36,00); C pagou R$ 30,00 com troco de R$ 5,40 (gastou R$ 24,60) → esses valores são os totais (lado direito) de cada equação.
• Síntese: ao montar o preço unitário de arroz (a), feijão (f) e macarrão (m) usando as três compras como equações, chega-se a um sistema linear resolúvel. Como a pergunta final envolve apenas arroz e macarrão, só é preciso isolar essas duas variáveis — mas para isso, no caminho mais direto, é necessário obter o valor de f também, já que ele aparece em todas as equações.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montagem do sistema

Sejam a, f e m os preços, em reais, de 1 kg de arroz, 1 kg de feijão e 1 kg de macarrão, respectivamente. Usando quantidade × preço = gasto real (pago − troco) para cada amigo:

• A: 3a + 2f + 4m = 40,00 − 4,00 = 36,00
• B: 2a + 3f + 3m = 40,00 − 7,30 = 32,70
• C: 2a + 2f + 2m = 30,00 − 5,40 = 24,60

A equação de C pode ser simplificada dividindo tudo por 2:

a + f + m = 12,30 (equação simplificada, chamada de "C'")

Subpasso 4.2 — Eliminação sucessiva das variáveis

Isolando a em C': a = 12,30 − f − m.

Substituindo em A (3a + 2f + 4m = 36,00):

3(12,30 − f − m) + 2f + 4m = 36,00

36,90 − 3f − 3m + 2f + 4m = 36,00

36,90 − f + m = 36,00

−f + m = −0,90 ⟹ f = m + 0,90 (equação I)

Substituindo a = 12,30 − f − m em B (2a + 3f + 3m = 32,70):

2(12,30 − f − m) + 3f + 3m = 32,70

24,60 − 2f − 2m + 3f + 3m = 32,70

24,60 + f + m = 32,70

f + m = 8,10 (equação II)

Substituindo a equação I (f = m + 0,90) na equação II:

(m + 0,90) + m = 8,10

2m = 7,20

m = 3,60

Voltando à equação I: f = 3,60 + 0,90 = 4,50

Voltando a C': a = 12,30 − 4,50 − 3,60 = 4,20

Logo: arroz custa R$ 4,20/kg, feijão custa R$ 4,50/kg e macarrão custa R$ 3,60/kg.

Subpasso 4.3 — Verificação e cálculo final

Confirmando nas três equações originais: A → 3(4,20)+2(4,50)+4(3,60) = 36,00 ✓; B → 2(4,20)+3(4,50)+3(3,60) = 32,70 ✓; C → 2(4,20)+2(4,50)+2(3,60) = 24,60 ✓. Os três valores batem exatamente com os gastos informados, então o sistema está corretamente resolvido.

Agora, o valor que a vizinha de A deve pagar é o custo de 1 kg de arroz + 2 kg de macarrão:

1a + 2m = 4,20 + 2 × 3,60 = 4,20 + 7,20 = R$ 11,40

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 8,10.

❌ Incorreta: esse é justamente o valor de f + m (feijão + macarrão, equação II do desenvolvimento), não o de arroz + 2×macarrão. É o erro típico de quem confunde qual combinação de itens a vizinha realmente encomendou.

B) 10,00.

❌ Incorreta: não corresponde a nenhuma combinação coerente dos preços unitários corretos; costuma surgir de arredondamentos indevidos durante a resolução do sistema (por exemplo, tratar os trocos como valores "redondos" antes de subtrair corretamente pago − troco).

C) 11,40.

✅ Correta: é exatamente 1a + 2m = 4,20 + 2(3,60) = R$ 11,40, o valor que a vizinha de A deve ressarcir por 1 kg de arroz e 2 kg de macarrão, conforme pedido no enunciado.

D) 12,00.

❌ Incorreta: valor que surge se o candidato somar 2a + 2m (dobrando também o arroz) em vez de 1a + 2m, um deslize comum ao reler rápido demais "um quilo de arroz e dois quilos de macarrão".

E) 13,20.

❌ Incorreta: corresponde a 2f + m (ou combinações equivalentes usando o preço do feijão em vez do arroz), evidenciando troca de item na hora de montar a soma final — o feijão nunca entra na conta pedida pela vizinha.

🏆 Gabarito: C — o preço de 1 kg de arroz (R$ 4,20) somado a 2 kg de macarrão (R$ 7,20) totaliza R$ 11,40, valor obtido resolvendo corretamente o sistema linear 3×3 montado a partir dos gastos reais (pago − troco) de cada amigo.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a letra C reproduz o cálculo 1a + 2m com os preços unitários corretos (a = 4,20 e m = 3,60); qualquer outro valor implica combinação errada de itens ou preços trocados.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma esconder o sistema linear dentro de uma narrativa cotidiana (compras, trocos, rateios), exigindo primeiro a tradução do texto em equações e só depois a aplicação da resposta em uma pergunta que não é diretamente uma das equações originais.
• Generalização: sempre que o enunciado der "valor pago" e "troco", o dado relevante é a diferença entre os dois (gasto real); e sempre que a pergunta final envolver uma combinação diferente da compra de qualquer personagem, calcule primeiro os preços unitários, sem tentar adivinhar por combinação direta das equações originais.
• Dica de eliminação rápida: calcule f + m como etapa intermediária e note que ele bate com a alternativa A — isso confirma que essa é uma "pegadinha de meio de caminho", descartável assim que se identifica que o valor pedido é a + 2m, não f + m.
• Conexões: sistemas lineares 3×3 pelo método da substituição; problemas de rateio envolvendo dinheiro; interpretação de tabelas em matemática financeira.