Questão 168 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (circunferência, quadrado e relações métricas)
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar duas relações métricas distintas (raio inscrito e raio circunscrito) e depois elevar ao quadrado, o que costuma gerar confusão entre razão de raios e razão de áreas.
• 🎯 Tema/Habilidade: Áreas de círculos inscrito e circunscrito em um quadrado; competência de resolver problemas de geometria plana envolvendo circunferências (H23/H25 da matriz do ENEM).
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dado um quadrado com um círculo inscrito (S₁) e um círculo circunscrito (S₂), calcule a razão S₂/S₁."
• Palavras-chave decisivas: círculo menor inscrito, círculo maior circunscreve, razão da área
• Armadilha típica: calcular a razão entre os raios (que dá √2) e marcar a alternativa A, esquecendo que a pergunta trata de áreas — e área depende do quadrado do raio, não do raio em si.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir a figura em expressões algébricas para os dois raios em função do lado do quadrado e, em seguida, obter corretamente a razão entre as áreas (não entre os raios nem entre os diâmetros).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Círculo inscrito em um quadrado: é o maior círculo que cabe dentro do quadrado, tangenciando os quatro lados. Seu diâmetro é exatamente igual ao lado do quadrado, logo o raio vale metade do lado.
• Círculo circunscrito a um quadrado: é o círculo que passa pelos quatro vértices do quadrado. Seu raio é igual à metade da diagonal do quadrado.
• Diagonal do quadrado: para um quadrado de lado L, a diagonal mede L√2 (consequência direta do Teorema de Pitágoras aplicado a um triângulo retângulo formado por dois lados e a diagonal).
• Área do círculo: S = πr². Como a área é proporcional ao quadrado do raio, qualquer razão entre raios deve ser elevada ao quadrado para virar razão entre áreas.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "O círculo menor está inscrito no quadrado ABCD" → o raio do círculo menor (r₁) é metade do lado do quadrado, pois o círculo toca os quatro lados internamente.
• Evidência 2: "o círculo maior circunscreve o mesmo quadrado" → o raio do círculo maior (r₂) é metade da diagonal do quadrado, pois o círculo passa pelos quatro vértices A, B, C e D.
• Evidência 3 (da figura): o segmento BD desenhado dentro do quadrado é a diagonal, unindo dois vértices opostos e passando pelo centro O — exatamente o diâmetro do círculo maior, reforçando visualmente que r₂ está ligado à diagonal, não ao lado.
• Síntese: a figura mostra dois raios distintos gerados pelo mesmo lado L: um vem do lado (círculo menor) e outro vem da diagonal (círculo maior). O caminho da resolução é escrever S₁ e S₂ em função de L e depois dividir.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Definir o lado do quadrado e os dois raios

Seja L o lado do quadrado ABCD.

• Círculo menor (inscrito): tangencia os quatro lados, então seu diâmetro é igual a L. Logo, r₁ = L/2.
• Círculo maior (circunscrito): passa pelos quatro vértices, então seu diâmetro é igual à diagonal do quadrado, que vale L√2. Logo, r₂ = (L√2)/2.

Subpasso 4.2 — Calcular as áreas S₁ e S₂

Usando S = πr² para cada círculo:

S₁ = π · (L/2)² = π · L²/4

S₂ = π · (L√2/2)² = π · (L² · 2)/4 = π · L²/2

Note que o quadrado de √2 é 2 — esse é o ponto crítico da conta, onde muitos alunos esquecem de elevar o "√2" ao quadrado corretamente.

Subpasso 4.3 — Verificação: montar a razão pedida

A questão pede S₂/S₁ (área do círculo maior para a do círculo menor):

S₂/S₁ = (π · L²/2) ÷ (π · L²/4)

O termo π · L² aparece em ambos e se cancela, restando apenas a razão entre as frações:

S₂/S₁ = (1/2) ÷ (1/4) = (1/2) × (4/1) = 4/2 = 2

Como confirmação alternativa: a razão entre os raios é r₂/r₁ = √2 (diagonal sobre lado, ambos divididos por 2). Como a área é proporcional ao quadrado do raio, a razão entre as áreas deve ser (√2)² = 2 — exatamente o mesmo resultado, validando a conta por dois caminhos independentes.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) √2

❌ Incorreta: esse é o valor da razão entre os raios (ou entre os diâmetros) dos dois círculos, r₂/r₁ = √2. O erro conceitual é parar um passo antes do necessário — esquecer que área varia com o quadrado do raio e responder com a razão linear em vez da razão quadrática.

B) 1/2

❌ Incorreta: é o inverso da razão correta, S₁/S₂ em vez de S₂/S₁. Esse erro surge de inverter numerador e denominador ao montar a fração, calculando "área do círculo menor para a área do círculo maior" — o oposto do que o enunciado pede.

C) 2

✅ Correta: é exatamente o valor de S₂/S₁ obtido tanto pelo cálculo direto das áreas (πL²/2 dividido por πL²/4) quanto pelo atalho do quadrado da razão dos raios, (√2)² = 2.

D) 8

❌ Incorreta: resulta de um erro comum ao manipular a fração das áreas, como multiplicar em vez de dividir corretamente os denominadores (por exemplo, tratar S₂/S₁ como (πL²/2) × 4 sem cancelar πL² de forma correta), ou de confundir a fórmula da área com a do volume de uma esfera relacionada, gerando um fator extra indevido.

E) 16

❌ Incorreta: equivale a elevar a razão de área já calculada (2) novamente ao quadrado, como se a razão pedida ainda precisasse de mais uma potenciação — um erro de "excesso de cautela" que aplica a regra "área é o quadrado do raio" duas vezes seguidas.

🏆 Gabarito: C — a razão S₂/S₁ vale 2, resultado direto de (r₂/r₁)² = (√2)² = 2, confirmado pelo cálculo explícito das áreas em função do lado L do quadrado.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa C é a única compatível tanto com o cálculo direto das áreas (πL²/2 sobre πL²/4) quanto com a verificação via razão dos raios elevada ao quadrado — dois caminhos independentes que convergem para 2.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente explora círculos inscritos/circunscritos em quadrados, triângulos e hexágonos, sempre testando se o aluno sabe transformar informações de lado/diagonal em raio e depois em área ou perímetro.
• Generalização: sempre que uma questão pedir razão de áreas entre figuras semelhantes (mesmo formato, tamanhos diferentes), a resposta é o quadrado da razão de comprimentos correspondentes (lados, raios, diagonais). Se pedir razão de volumes de sólidos semelhantes, o expoente correto é 3.
• Dica de eliminação rápida: ao ver "razão de áreas" nas alternativas, descarte de imediato qualquer valor que contenha raiz quadrada "solta" (como √2) — área nunca gera raiz quando a razão de comprimentos já é ela própria uma raiz, pois o quadrado de √2 elimina a raiz. Isso corta a alternativa A em segundos.
• Conexões: relações métricas entre quadrado e circunferência (inscrita/circunscrita); razão de semelhança e seu efeito quadrático em áreas e cúbico em volumes.