Questão 163 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Razão e proporção, otimização de custos, arredondamento por excesso
• ⚡ Nível: Médio — não exige fórmulas complexas, mas obriga a fazer cinco divisões, arredondar corretamente cada uma para cima e comparar os custos sem trocar parede com teto
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de problemas com grandezas diretamente proporcionais e otimização de recursos financeiros (Competência de área 5 do ENEM — grandezas e suas relações)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre as combinações possíveis de tinta de parede (I, II ou III) e tinta de teto (X ou Y), qual gera o menor gasto total para cobrir 560 m² de parede e 260 m² de teto?"
• Palavras-chave decisivas: menor quantia possível, embalagem (produto fechado, não fracionável), respectivamente
• Armadilha típica: dividir a área pela cobertura da lata e usar o quociente "quebrado" direto no cálculo do custo, ou arredondar para baixo — como tinta só é vendida em latas fechadas, qualquer resto exige a compra de mais uma unidade inteira
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de calcular, para os cinco produtos (I, II, III, X, Y), quantas latas fechadas são necessárias e qual o custo final, escolhendo depois a opção mais barata dentro de cada grupo — parede e teto são decisões independentes

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Arredondamento por excesso (função teto): quando a divisão área/cobertura não é exata, é preciso comprar a lata seguinte inteira, mesmo que sobre tinta — nunca se arredonda para baixo em problemas de compra de material.
• Custo total = nº de latas × preço unitário: o critério de decisão do enunciado é o gasto em reais, não o preço por litro nem por metro quadrado; por isso o número de latas compradas (já arredondado) deve ser multiplicado pelo preço de cada embalagem.
• Independência entre parede e teto: como se escolhe uma tinta para a parede e uma tinta para o teto, o gasto mínimo total é obtido minimizando cada grupo separadamente — não é necessário testar as seis combinações possíveis, basta achar o melhor de cada bloco.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "560 m² de parede e 260 m² de teto" → são as duas áreas-alvo, numeradores das divisões que definem quantas latas são necessárias em cada tipo de tinta.
• Evidência 2: "um entre três tipos diferentes de tinta deve ser usado para pintar as paredes... e um entre outros dois tipos pode ser utilizado na pintura do teto" → confirma que parede e teto têm escolhas independentes, cada uma com seu próprio vencedor.
• Evidência 3: "Pretende-se gastar a menor quantia possível" → o critério é exclusivamente financeiro: não importa qual tinta rende mais tinta sobrando, importa o menor total em reais.
• Síntese: a estratégia correta é calcular, para cada um dos cinco produtos, o número de latas fechadas (arredondando para cima) e o custo correspondente; em seguida, comparar os três valores da parede entre si e os dois valores do teto entre si.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Parede (560 m²)

Tipo I (lata cobre 220 m², R$ 180,00): 560 ÷ 220 = 2,545... → arredonda para 3 latas → 3 × 180 = R$ 540,00

Tipo II (lata cobre 450 m², R$ 350,00): 560 ÷ 450 = 1,244... → arredonda para 2 latas → 2 × 350 = R$ 700,00

Tipo III (lata cobre 550 m², R$ 650,00): 560 ÷ 550 = 1,018... → arredonda para 2 latas → 2 × 650 = R$ 1.300,00

Comparando os três: R$ 540,00 < R$ 700,00 < R$ 1.300,00 → a tinta I é a mais barata para a parede.

Subpasso 4.2 — Teto (260 m²)

Tipo X (lata cobre 80 m², R$ 70,00): 260 ÷ 80 = 3,25 → arredonda para 4 latas → 4 × 70 = R$ 280,00

Tipo Y (lata cobre 90 m², R$ 85,00): 260 ÷ 90 = 2,888... → arredonda para 3 latas → 3 × 85 = R$ 255,00

Comparando os dois: R$ 255,00 < R$ 280,00 → a tinta Y é a mais barata para o teto.

Subpasso 4.3 — Verificação

Como parede e teto são escolhas independentes, basta somar as duas opções vencedoras: 540 + 255 = R$ 795,00. Para confirmar que essa é de fato a combinação mínima, é possível listar o custo das seis combinações possíveis: I+X = 820; I+Y = 795; II+X = 980; II+Y = 955; III+X = 1.580; III+Y = 1.555. O menor valor entre todos é exatamente I+Y, o que bate com a análise por blocos e aponta para a alternativa que traz I e Y.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I e X.

❌ Incorreta: a tinta I está certa para a parede (R$ 540,00, a mais barata do grupo), mas X custa R$ 280,00 no teto contra R$ 255,00 de Y — trocar Y por X encarece a compra do teto em R$ 25,00 sem necessidade.

B) I e Y.

✅ Correta: I é a opção mais barata para a parede (3 latas, R$ 540,00) e Y é a opção mais barata para o teto (3 latas, R$ 255,00), totalizando R$ 795,00, o menor gasto possível entre todas as combinações.

C) II e X.

❌ Incorreta: II exige 2 latas de 350 (R$ 700,00) contra apenas R$ 540,00 da tinta I para a mesma parede — um erro de R$ 160,00 — e ainda soma X (R$ 280,00) em vez do Y mais barato; essa alternativa erra os dois lados da escolha.

D) II e Y.

❌ Incorreta: aqui o teto está certo (Y, R$ 255,00), mas a parede usa II, que custa R$ 700,00 em vez dos R$ 540,00 da tinta I — provavelmente resultado de comparar apenas a cobertura por lata (450 m² de II parece "melhor" que 220 m² de I) sem calcular o custo final em reais.

E) III e Y.

❌ Incorreta: III é a tinta que, isoladamente, cobre a maior área por lata (550 m²), o que engana quem pensa que "mais cobertura = mais economia"; mas como só 2 latas já bastam e cada uma custa R$ 650,00, o total sobe para R$ 1.300,00, muito acima dos R$ 540,00 da tinta I — o maior rendimento por embalagem não significa o menor preço final.

🏆 Gabarito: B — a tinta I minimiza o custo da parede (R$ 540,00) e a tinta Y minimiza o custo do teto (R$ 255,00); juntas somam R$ 795,00, o menor total possível entre as seis combinações analisadas.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: nenhuma outra combinação bate os R$ 795,00 de I + Y, pois qualquer troca — seja na parede, seja no teto — substitui a opção de menor custo por uma mais cara, mesmo que "renda mais" em metros quadrados por lata.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora esse formato de "compra em embalagens fechadas", presente em questões sobre tinta, azulejo, tela de cerca, ração e adubo — sempre exigindo arredondamento para cima e comparação de custo total, não de rendimento por unidade.
• Generalização: em problemas de compra por embalagem fechada, calcule sempre nº de embalagens = ⌈área necessária ÷ cobertura por embalagem⌉ (arredondando para cima) e só depois multiplique pelo preço; nunca decida pela embalagem que "rende mais" sem checar o custo final.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro a divisão bruta (sem arredondar) de cada opção — quem tem o menor "excesso" acima do inteiro costuma, mas nem sempre, ser mais barato; por isso é mais seguro fazer as cinco contas completas do que confiar apenas na intuição de rendimento por lata, como mostram os erros das alternativas C, D e E.
• Conexões: problemas de otimização com restrição de unidades inteiras (função teto) e proporcionalidade direta entre área e quantidade de material.