Questão 158 — ENEM 2022 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (perímetros, semicircunferências e Teorema de Pitágoras)
• ⚡ Nível: Difícil — não basta calcular um perímetro; é preciso montar cinco variações de comprimento e testar combinações até achar a que otimiza o resultado
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de comprimento de semicircunferência e de segmentos de reta, aplicado a um problema de otimização combinatória (escolher 2 entre 5 setores)
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre os cinco setores candidatos, escolha o par cuja soma das variações de comprimento deixe a pista nova com extensão total mais próxima possível da pista original."
• Palavras-chave decisivas: duas alterações, extensão mais próxima, trechos em comum não serão alterados
• Armadilha típica: calcular o comprimento de cada setor isoladamente e escolher os "maiores" ou "menores" valores, esquecendo que o que importa é a variação (novo menos original) de cada setor e que o objetivo é minimizar o módulo da soma dessas variações — não maximizar nem minimizar a pista em si.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir a figura em cinco valores de Δ (variação de comprimento) e testar as combinações duas a duas até identificar a soma mais próxima de zero.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Comprimento de semicircunferência: metade do perímetro do círculo, ou seja, C = πR (usando π ≈ 3, conforme o próprio enunciado autoriza).
• Teorema de Pitágoras e ternos pitagóricos: usado quando dois catetos retos são substituídos por um único segmento diagonal (a hipotenusa) — no caso desta questão, aparece o terno 3-4-5 multiplicado por 100 (300, 400, 500).
• Variação de trecho (Δ): cada setor tem um comprimento no traçado original e outro no traçado novo; Δ = comprimento novo − comprimento original. Como os trechos em comum não mudam, a diferença total de extensão da pista é simplesmente a soma dos Δ dos setores escolhidos.
• Otimização por combinação: com 5 setores e apenas 2 modificações permitidas, existem C(5,2) = 10 pares possíveis; a prova já filtra isso para 5 alternativas, mas o raciocínio de "testar e comparar módulos" é o mesmo.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "só é permitido que se façam duas dessas alterações" → restringe a escolha a exatamente 2 dos 5 setores, transformando o problema em uma comparação de somas de Δ.
• Evidência 2: "extensão mais próxima que a da original" → o critério não é "pista mais curta" nem "pista mais longa", e sim o módulo da variação total mais próximo de zero.
• Evidência 3: "Utilize 3 como aproximação para π" → aviso de que os comprimentos de semicircunferência vão resultar em múltiplos redondos (múltiplos de 20, neste caso), o que é o convite para comparar os Δ numericamente sem perder tempo com decimais.
• Síntese: a resolução exige calcular o Δ de cada um dos cinco setores a partir das medidas da figura (raios, catetos, lados) e depois somar os Δ par a par, escolhendo a combinação cuja soma seja a mais próxima de zero.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Traduzir a figura em cinco variações de comprimento

Setor I: o traçado original percorre dois segmentos retos de 50 m cada (100 m ao todo, formando um pequeno desvio); no traçado novo esse desvio é eliminado, ligando os pontos diretamente, sem acréscimo de extensão.

Δ_I = 0 − 100 = −100 m

Setor II: o traçado original segue dois catetos retos de 300 m e 400 m (700 m ao todo); o traçado novo corta o canto pela hipotenusa: √(300² + 400²) = √(90.000 + 160.000) = √250.000 = 500 m (é o terno pitagórico 3-4-5 multiplicado por 100).

Δ_II = 500 − 700 = −200 m

Setor III: o traçado original é um segmento reto de 480 m; o traçado novo substitui esse trecho por uma semicircunferência de raio R = 240 m (diâmetro = 480 m, mesma base), cujo comprimento é π·R = 3 × 240 = 720 m.

Δ_III = 720 − 480 = +240 m

Setor IV: o traçado original é uma semicircunferência de raio R = 180 m (diâmetro = 360 m), com comprimento π·R = 3 × 180 = 540 m; o traçado novo substitui essa curva pelo segmento reto do diâmetro, de 360 m.

Δ_IV = 360 − 540 = −180 m

Setor V: o traçado original é um segmento reto de 200 m; o traçado novo substitui esse segmento por dois lados de 200 m de um triângulo equilátero (400 m ao todo).

Δ_V = 400 − 200 = +200 m

Subpasso 4.2 — Testar as combinações apresentadas nas alternativas

| Combinação | Soma dos Δ | \|Δ total\| |

|---|---|---|

| I e V | −100 + 200 | 100 m |

| II e III | −200 + 240 | 40 m |

| II e V | −200 + 200 | 0 m |

| III e IV | +240 − 180 | 60 m |

| IV e V | −180 + 200 | 20 m |

Subpasso 4.3 — Verificação

A combinação II e V é a única que zera a variação total: a redução de 200 m no setor II é exatamente compensada pelo acréscimo de 200 m no setor V, de modo que a extensão da pista nova fica idêntica à da pista original — o caso mais próximo possível de "extensão mais próxima que a original". Nenhuma outra dupla chega perto desse resultado, o que confirma a combinação como resposta.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I e V

❌ Incorreta: Δ_I + Δ_V = −100 + 200 = +100 m. A pista ficaria 100 m mais longa que a original — a maior distorção entre todas as combinações, longe de ser a mais próxima.

B) II e III

❌ Incorreta: Δ_II + Δ_III = −200 + 240 = +40 m. Ainda que pareça pequena, essa combinação mistura um corte de canto (II) com a criação de uma curva bem mais longa (III), e a soma não anula: sobra uma variação de 40 m.

C) II e V

✅ Correta: Δ_II + Δ_V = −200 + 200 = 0 m. A redução gerada pelo atalho do setor II é compensada exatamente pelo acréscimo do desvio triangular do setor V. É a única dupla que mantém a extensão da pista rigorosamente igual à original, satisfazendo com folga a condição de "extensão mais próxima".

D) III e IV

❌ Incorreta: Δ_III + Δ_IV = +240 − 180 = +60 m. Embora os dois setores envolvam semicircunferências (um cria, outro remove), os raios são diferentes (240 m e 180 m), então as variações não se cancelam — sobram 60 m de diferença.

E) IV e V

❌ Incorreta: Δ_IV + Δ_V = −180 + 200 = +20 m. É a segunda melhor combinação (por isso funciona como o distrator mais forte da questão), mas ainda deixa 20 m de diferença, superior ao resultado exato de 0 m obtido com II e V.

🏆 Gabarito: C — Somente a troca simultânea dos setores II e V produz variação total nula (−200 m + 200 m = 0), mantendo a pista nova com extensão idêntica à original, que é a condição mais próxima possível exigida pelo enunciado.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: entre as dez combinações possíveis de dois setores, C(5,2), II e V é a única em que os efeitos de encurtamento e alongamento se cancelam exatamente, tornando-a a escolha inequívoca.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de misturar geometria plana (perímetro, semicircunferência, Pitágoras) com um segundo nível de raciocínio — aqui, uma escolha combinatória entre opções numéricas. É comum a prova "esconder" a real dificuldade atrás de uma figura, testando se o estudante organiza os dados antes de calcular.
• Generalização: sempre que um problema pedir para comparar um traçado "antes" e "depois" em várias partes independentes, transforme cada parte em um único número (a variação Δ) e reduza o problema a somas e comparações — isso evita recalcular tudo do zero para cada alternativa.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro os Δ de cada setor isoladamente; alternativas cuja soma tenha o mesmo sinal em ambos os termos (como D, que soma dois valores positivos e um negativo pequeno, ou A, que soma o maior negativo com o maior positivo sem se cancelarem) tendem a se afastar de zero — priorize testar as combinações que misturam um Δ positivo com um Δ negativo de módulo parecido.
• Conexões: aproximação π ≈ 3 em problemas de comprimento de circunferência; ternos pitagóricos (3-4-5, 6-8-10...) para calcular hipotenusas sem calculadora; problemas de otimização discreta disfarçados de geometria.