Questão 179 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Sistemas de Equações Lineares (Álgebra aplicada a situações-problema)
• ⚡ Nível: Médio — exige montar um sistema linear 2×2 a partir de dois casos concretos e, depois, generalizar corretamente o resultado para toda a população de clientes.
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de sistemas lineares aplicados a tarifação com parte fixa e parte proporcional (Competência de Área 5 — construir noções de grandezas e medidas para resolução de problemas)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descubra quanto o restaurante arrecadou ao todo (comida + couvert) somando os 30 clientes daquela hora."
• Palavras-chave decisivas: couvert artístico (valor fixo), por quilograma, arrecadação total
• Armadilha típica: tratar o couvert como uma taxa única cobrada do restaurante como um todo, em vez de uma taxa fixa cobrada individualmente de cada um dos 30 clientes.
• O que a resposta precisa demonstrar: montar e resolver um sistema linear com os dois clientes-exemplo para achar o preço por quilo e o couvert fixo, e aplicar cada valor à grandeza correspondente — o preço ao total de quilos, o couvert ao total de clientes.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Sistema de equações lineares com duas incógnitas: duas situações reais que compartilham as mesmas variáveis geram duas equações do tipo ax + by = c, permitindo isolar cada incógnita.
• Método da eliminação (subtração): quando duas equações têm uma incógnita com coeficiente idêntico, subtrair uma da outra elimina essa incógnita e isola a outra diretamente.
• Separação entre variável e constante em contextos reais: o preço por quilo (x) multiplica uma grandeza que varia de cliente para cliente (o peso consumido); o couvert (y) é uma constante somada uma única vez por cliente, independentemente do quanto ele comeu.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cobrar dos clientes um valor fixo de couvert artístico, além do valor da comida" → cada cliente paga (preço × peso consumido) + couvert; o valor fixo se repete uma vez para cada pessoa, não uma vez só para o restaurante.
• Evidência 2: "dois desses clientes pagaram R$ 50,00 e R$ 34,00 e consumiram 500 g e 300 g" → fornece dois pares (peso, pagamento) que geram duas equações independentes com as mesmas incógnitas x (preço/kg) e y (couvert), o suficiente para resolver o sistema.
• Evidência 3: "30 clientes consumiram um total de 10 kg de comida" → são dados agregados: bastam para calcular a receita total de comida (10 kg × x) e a receita total de couvert (30 × y), sem necessidade de saber o consumo individual de cada um dos 30 clientes.
• Síntese: primeiro usa-se os dois clientes-exemplo para montar e resolver o sistema linear e achar x e y; depois aplica-se x ao total de quilos (10 kg) e y ao total de clientes (30), somando as duas parcelas para obter a arrecadação da hora.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montagem do sistema

Seja x o preço por quilograma de comida (R$/kg) e y o valor fixo do couvert artístico (R$). Convertendo os pesos para quilogramas (500 g = 0,5 kg e 300 g = 0,3 kg), cada cliente paga (preço/kg × peso consumido) + couvert:

Cliente 1: 0,5x + y = 50

Cliente 2: 0,3x + y = 34

Subpasso 4.2 — Eliminação de y e obtenção de x

Como o coeficiente de y é 1 nas duas equações, basta subtrair a segunda da primeira:

(0,5x + y) − (0,3x + y) = 50 − 34

0,2x = 16

x = 16 ÷ 0,2 = 80

Logo, o preço da comida é R$ 80,00 por quilograma.

Subpasso 4.3 — Obtenção de y e verificação

Substituindo x = 80 na equação do cliente 1:

0,5 × 80 + y = 50

40 + y = 50

y = 10

Logo, o couvert artístico fixo é R$ 10,00 por cliente. Conferindo no cliente 2: 0,3 × 80 + 10 = 24 + 10 = 34 ✓ — bate exatamente com o enunciado, confirmando os dois valores.

Subpasso 4.4 — Generalização para os 30 clientes e verificação final

A arrecadação total no período de 1 hora tem duas parcelas, cada uma aplicada à grandeza correta:

Receita de comida = preço/kg × total consumido = 80 × 10 = R$ 800,00

Receita de couvert = valor fixo × nº de clientes = 10 × 30 = R$ 300,00

Arrecadação total = 800 + 300 = R$ 1 100,00, que corresponde exatamente à alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 800,00

❌ Incorreta: é exatamente a receita de comida isolada (10 kg × R$ 80,00/kg), mas ignora por completo a receita do couvert artístico cobrado de cada um dos 30 clientes. Quem chega a esse valor esqueceu que, "além do valor da comida", o restaurante também arrecada uma taxa fixa por pessoa.

B) 810,00

❌ Incorreta: soma o couvert (R$ 10,00) apenas uma única vez à receita de comida (800 + 10), como se essa taxa fosse cobrada uma vez do restaurante como um todo, e não individualmente de cada cliente. O erro conceitual é não multiplicar y pelo número de clientes (30).

C) 820,00

❌ Incorreta: multiplica o couvert apenas pelos 2 clientes citados como exemplo no enunciado (2 × R$ 10,00 = R$ 20,00) e soma à receita de comida (800 + 20 = 820), confundindo os dados usados para montar o sistema (só 2 clientes, escolhidos para permitir o cálculo de x e y) com o total real de clientes do restaurante naquela hora, que é 30.

D) 1 100,00

✅ Correta: soma corretamente a receita de comida para o total de 10 kg consumidos (10 × 80 = 800) com a receita de couvert para os 30 clientes (30 × 10 = 300), resultando em 800 + 300 = R$ 1 100,00.

E) 2 700,00

❌ Incorreta: trata o preço por quilo como se fosse também um valor fixo por cliente, calculando (preço/kg + couvert) × nº de clientes = (80 + 10) × 30 = 2 700. Esse raciocínio ignora que o preço por quilo deve ser aplicado ao total de quilogramas efetivamente consumidos (10 kg) — e não multiplicado diretamente pelo número de clientes, como se cada pessoa consumisse 1 kg inteiro.

🏆 Gabarito: D — a arrecadação total soma corretamente a receita da comida (preço/kg × total de kg) com a receita do couvert (valor fixo × número de clientes), resultando em R$ 1 100,00.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa D combina as duas parcelas de receita — comida e couvert — cada uma aplicada à grandeza correta (peso total consumido e número total de clientes, respectivamente); qualquer outra combinação de fatores produz um valor diferente de R$ 1 100,00.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de contextualizar sistemas lineares em situações do cotidiano — contas de restaurante, planos de telefonia, corridas de aplicativo, tarifas de táxi — em que parte do valor é fixa e parte é proporcional a uma grandeza variável; o modelo y = ax + b aparece disfarçado de "taxa fixa + taxa por unidade".
• Generalização: sempre que o enunciado descrever "valor fixo + valor proporcional a algo", monte duas equações a partir de pelo menos dois casos concretos, resolva por eliminação e, só depois, aplique cada coeficiente encontrado à grandeza total correspondente — sem confundir "quantidade de casos usados para montar o sistema" com "quantidade total de casos do problema".
• Dica de eliminação rápida: calcule mentalmente a receita "só de comida" (10 kg × 80 = 800); isso já elimina a alternativa A e mostra que a resposta certa precisa ser maior que 800. Em seguida, lembre que o couvert se multiplica pelos 30 clientes, não por 1 ou 2 — isso evidencia que 810 e 820 estão subestimando essa multiplicação, restando apenas D como resultado coerente.
• Conexões: função afim (y = ax + b) e problemas de tarifação com parte fixa e parte variável, como conta de luz/água, planos de internet e corridas de aplicativos de transporte.