Questão 156 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade condicional com tabela de dupla entrada (contingência)
• ⚡ Nível: Médio — exige ler corretamente uma tabela de dupla entrada e não confundir o espaço amostral condicionado com o total geral
• 🎯 Tema/Habilidade: Probabilidade condicional — Competência de Área 7 (Compreender o caráter aleatório de fenômenos e associar dados a interpretações probabilísticas), Habilidade H25
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dado que o docente já trabalha em São Paulo, qual a chance de ele ser espanhol?"
• Palavras-chave decisivas: sabendo-se que, estado de São Paulo, docente espanhol
• Armadilha típica: usar o total geral de 402 docentes (soma dos dois estados) como denominador, em vez de restringir a conta apenas aos 239 docentes que atuam em São Paulo
• O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato entende que a expressão "sabendo-se que" reduz o universo de análise — o denominador da probabilidade não é mais o total da tabela, e sim o total da condição já dada como verdadeira

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Probabilidade condicional: mede a chance de um evento A ocorrer sabendo que outro evento B já aconteceu. A fórmula é P(A|B) = n(A ∩ B) / n(B), em que o denominador é o número de elementos apenas do evento condicionante B.
• Espaço amostral reduzido: quando o enunciado afirma "sabendo que" ou "dado que", ele informa uma restrição — o espaço amostral deixa de ser o total da população e passa a ser apenas o subconjunto que satisfaz essa condição.
• Tabela de contingência: organiza uma população em duas variáveis cruzadas (aqui, estado × país de origem); linhas e colunas trazem subtotais que funcionam como "espaços amostrais prontos" para probabilidades condicionais.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "foram validados os diplomas de 402 docentes estrangeiros" → define o universo total da tabela (402), distribuído por estado (São Paulo e Rio de Janeiro) e por país de origem (Argentina, Espanha, Cuba, Portugal, Venezuela).
• Evidência 2: "sabendo-se que ele trabalha em uma universidade do estado de São Paulo" → é o evento condicionante B: o espaço amostral não é mais 402, e sim o total de docentes de São Paulo, que a tabela mostra ser 239.
• Síntese: a pergunta pede P(Espanhol | São Paulo). Isso significa: dentro do grupo de 239 docentes de São Paulo (denominador), quantos são espanhóis (numerador)? A tabela fornece esse cruzamento diretamente na célula São Paulo/Espanha.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Organizando os dados da tabela

A tabela do enunciado traz a seguinte distribuição de docentes estrangeiros:

| Estado | Argentina | Espanha | Cuba | Portugal | Venezuela | Total |

|---|---|---|---|---|---|---|

| São Paulo | 112 | 60 | 28 | 9 | 30 | 239 |

| Rio de Janeiro | 29 | 40 | 46 | 36 | 12 | 163 |

| Total | 141 | 100 | 74 | 45 | 42 | 402 |

Dois números são essenciais para o problema:

• Total de docentes em São Paulo (todos os países): 239
• Docentes espanhóis que estão em São Paulo (célula específica): 60

Subpasso 4.2 — Aplicando a fórmula da probabilidade condicional

Como o enunciado já garante que o docente sorteado trabalha em São Paulo, o espaço amostral não é mais os 402 docentes — é apenas os 239 de São Paulo. Dentro desse subconjunto, queremos a fração que é espanhola:

P(Espanhol | São Paulo) = n(Espanhol ∩ São Paulo) / n(São Paulo) = 60 / 239

Não há simplificação possível, pois 239 é primo com 60 (239 não é múltiplo de 2, 3 ou 5, e não compartilha fatores com 60 = 2² × 3 × 5). A fração já está na forma final.

Subpasso 4.3 — Verificação

60/239 ≈ 0,251, ou seja, cerca de 25% dos docentes de São Paulo são espanhóis — um valor plausível, já que 60 é a segunda maior nacionalidade em São Paulo, atrás apenas da Argentina (112). O resultado 60/239 aparece de forma explícita entre as alternativas, confirmando que o caminho está correto.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 60/402

❌ Incorreta: o numerador está certo (docentes espanhóis em São Paulo), mas o denominador ignora a condição do enunciado. Usar 402 significa calcular a probabilidade de o docente ser, ao mesmo tempo, espanhol e de São Paulo dentro do universo total — isto é, P(Espanhol ∩ São Paulo), e não a probabilidade condicional P(Espanhol | São Paulo) que foi pedida.

B) 60/239

✅ Correta: aplica corretamente a definição de probabilidade condicional, restringindo o espaço amostral aos 239 docentes de São Paulo (evento já confirmado) e contando, dentro desse grupo, os 60 que são espanhóis.

C) 60/100

❌ Incorreta: inverte a condição. Usar 100 (total de espanhóis nos dois estados) como denominador corresponderia a calcular P(São Paulo | Espanhol) — "sabendo que o docente é espanhol, qual a chance de ele estar em São Paulo?" — que é exatamente o contrário do que o enunciado pergunta.

D) 100/239

❌ Incorreta: o denominador está certo (239, total de São Paulo), mas o numerador está errado. Usa 100, que é o total de espanhóis somando os dois estados, e não apenas os 60 espanhóis que efetivamente estão em São Paulo. O erro é esquecer que o numerador também precisa respeitar a condição "está em São Paulo".

E) 279/402

❌ Incorreta: esse valor corresponde a um cálculo de probabilidade de união, não de probabilidade condicional. Note que 239 + 100 − 60 = 279, ou seja, é P(São Paulo) + P(Espanhol) − P(São Paulo ∩ Espanhol), a fórmula de P(São Paulo ∪ Espanhol) sobre o total geral (402). Essa conta responderia a uma pergunta diferente ("qual a chance de o docente ser de São Paulo OU espanhol?"), não à pergunta condicional do enunciado.

🏆 Gabarito: B — a probabilidade condicional correta restringe o espaço amostral aos 239 docentes de São Paulo e conta, dentro desse grupo, os 60 que são espanhóis, resultando em 60/239.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas a alternativa B respeita simultaneamente as duas exigências da probabilidade condicional: denominador restrito ao evento já confirmado (São Paulo = 239) e numerador restrito à intersecção correta (espanhóis dentro de São Paulo = 60).
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra probabilidade condicional com tabelas de dupla entrada quase todos os anos, geralmente cruzando duas categorias (aqui, estado × nacionalidade) e testando se o aluno sabe identificar qual subtotal vira o novo espaço amostral.
• Generalização: sempre que o enunciado usar "sabendo que", "dado que" ou "sabendo-se que", o denominador da probabilidade deixa de ser o total geral e passa a ser o total da linha ou coluna do evento já confirmado; o numerador é a célula de intersecção correspondente.
• Dica de eliminação rápida: localize primeiro o total da condição mencionada (aqui, 239 = total de São Paulo) — qualquer alternativa cujo denominador seja o total geral da tabela (402) pode ser descartada de imediato, pois ignora a condicional. Em seguida, confira se o numerador é a célula específica (espanhóis em SP = 60) e não um total de coluna ou linha inteira.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões de probabilidade com diagramas de Venn, tabelas de frequência cruzada e no Teorema de Bayes, sempre girando em torno da ideia central de "reduzir o espaço amostral ao evento condicionante".