Questão 160 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

📋 Ficha da questão

• Matéria: Matemática → Notação científica → razão entre grandezas
• Habilidade: H3 — resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos
• Nível: Fácil — uma única divisão, desde que você opere as potências de dez pela regra certa
• Gabarito: revelado no Passo 4

🔎 Passo 1 — Leitura estratégica do comando

• O comando, em uma linha: quantas vezes o diâmetro de um fio de cabelo é maior que o de um nanofio.
• Palavras-chave decisivas: razão, diâmetro do fio de cabelo (numerador), diâmetro do nanofio (denominador).
• A armadilha: errar a operação com os expoentes. As cinco alternativas têm o mesmo algarismo 6 e diferem só na potência de dez — cada uma corresponde a uma regra aplicada errado: somar, dividir ou multiplicar os expoentes em vez de subtrair.
• O que a resposta precisa mostrar: que você monta a razão na ordem pedida e domina a divisão de potências de mesma base.

📚 Passo 2 — Revisão do conteúdo

• Notação científica: todo número escrito como a × 10ⁿ, com 1 ≤ a < 10 e n inteiro. Serve para comparar grandezas de tamanhos muito diferentes sem contar zeros. O expoente negativo indica número menor que 1: 10⁻⁵ é um centésimo de milésimo.
• Razão entre duas grandezas: é a divisão de uma pela outra, na ordem que o comando manda. "A razão entre A e B" significa A ÷ B — a primeira grandeza citada vai no numerador. Trocar a ordem inverte o resultado.
• Divisão de potências de mesma base: 10ᵃ ÷ 10ᵇ = 10ᵃ⁻ᵇ. Os expoentes se subtraem. Na multiplicação eles se somam (10ᵃ × 10ᵇ = 10ᵃ⁺ᵇ), e é essa confusão que sustenta os distratores.
• Subtração com sinal negativo: −5 − (−9) = −5 + 9 = 4. Subtrair um número negativo equivale a somar o seu oposto. É exatamente aqui que a maioria dos erros acontece.
• Escala nano: o prefixo nano corresponde a 10⁻⁹. Um nanômetro é um bilionésimo de metro — daí o nome nanofio.

🧭 Passo 3 — Decodificação do enunciado

• Evidência 1: a imagem traz o diâmetro do fio de cabelo como 6 × 10⁻⁵ m → é o valor que vai no numerador, porque o comando cita o cabelo primeiro.
• Evidência 2: a imagem traz o diâmetro do nanofio como 1 × 10⁻⁹ m → vai no denominador. É o "1" desse valor que faz o algarismo 6 atravessar a conta intacto e sobrar em todas as alternativas.
• Evidência 3: "a imagem ilustra, sem escala" → o desenho não pode ser medido com régua. A comparação só existe nos números escritos, e é isso que transforma o item numa questão de potência de dez, não de geometria.
• Evidência 4: "a razão existente entre o comprimento do diâmetro de um fio de cabelo e o de um nanofio" → a ordem está explícita: cabelo dividido por nanofio. Como o cabelo é muito maior, o resultado tem de ser um número grande e positivo, o que já elimina qualquer alternativa com expoente negativo.
• Síntese: a questão inteira cabe em uma divisão, 6 × 10⁻⁵ ÷ 10⁻⁹, e a única dificuldade real é a subtração dos expoentes negativos.

🧠 Passo 4 — Resolução passo a passo

4.1 — Montar a razão na ordem do comando

• razão = diâmetro do cabelo ÷ diâmetro do nanofio
• razão = (6 × 10⁻⁵ m) ÷ (1 × 10⁻⁹ m)

As unidades se cancelam — metro dividido por metro. A razão é um número puro, um "quantas vezes maior", e por isso nenhuma alternativa traz unidade.

4.2 — Separar os algarismos das potências

• parte numérica: 6 ÷ 1 = 6
• parte das potências: 10⁻⁵ ÷ 10⁻⁹ = 10⁻⁵⁻⁽⁻⁹⁾ = 10⁻⁵⁺⁹ = 10⁴

Recompondo: razão = 6 × 10⁴.

4.3 — Verificação pelo tamanho do resultado

6 × 10⁴ = 60 000. Ou seja, o fio de cabelo é sessenta mil vezes mais grosso que o nanofio.

Faz sentido? O cabelo tem cerca de 0,000 06 m, isto é, 60 micrômetros; o nanofio tem 0,000 000 001 m, ou 1 nanômetro. Passar de micrômetro para nanômetro é um salto de mil vezes, e ainda há o fator 60. O resultado é grande e positivo, como tinha de ser. Gabarito: D.

✅❌ Passo 5 — Análise das alternativas

❌ (A) 6 × 10⁻¹⁴ — Vem de somar os expoentes: −5 + (−9) = −14. Isso é o que se faz numa multiplicação, não numa divisão. Além do erro de regra, o resultado é absurdo no contexto: 10⁻¹⁴ é um número minúsculo, e diria que o cabelo é bilhões de vezes mais fino que o nanofio.

❌ (B) 6 × 10⁻⁵ᐟ⁹ — Vem de dividir os expoentes um pelo outro, tratando −5 e −9 como se fossem os números a operar. Expoente não se divide na divisão de potências; ele se subtrai. E um expoente fracionário significaria raiz, ideia que não tem lugar aqui.

❌ (C) 6 × 10⁵ᐟ⁹ — O mesmo erro da alternativa anterior, agora com os sinais cancelados na divisão −5 ÷ −9. Continua sendo uma operação inexistente, e o resultado, 10 elevado a uma fração menor que 1, daria um número entre 1 e 10 — perto demais de 6 para descrever grandezas separadas por dezenas de milhares de vezes.

✅ (D) 6 × 10⁴ — Aplica a regra correta: na divisão de potências de mesma base, subtraem-se os expoentes. 6 ÷ 1 = 6 e 10⁻⁵ ÷ 10⁻⁹ = 10⁻⁵⁺⁹ = 10⁴. O fio de cabelo é 60 000 vezes mais espesso que o nanofio, resultado coerente com a diferença entre a escala micrométrica e a nanométrica.

❌ (E) 6 × 10⁴⁵ — Vem de multiplicar os expoentes: (−5) × (−9) = 45. Multiplicação de expoentes só aparece em potência de potência, (10ᵃ)ᵇ, que não é o caso. O número resultante teria 46 algarismos, escala que não existe em objeto físico algum.

Gabarito: D — a razão é 6 × 10⁻⁵ dividido por 10⁻⁹, e a subtração dos expoentes, −5 − (−9) = 4, dá 6 × 10⁴.

🏁 Passo 6 — Generalização e dica de prova

• Por que só D se sustenta: as outras quatro alternativas nascem das quatro maneiras erradas de tratar os expoentes — somar, dividir nos dois sentidos e multiplicar. A parte numérica é a mesma em todas, o que confirma que a questão avalia apenas a regra da potência.
• Como o ENEM cobra isso: o contexto costuma ser nanotecnologia, astronomia, microbiologia ou dívida pública — situações em que as grandezas estão em escalas muito distantes. A pergunta é sempre "quantas vezes maior", e a conta é sempre uma divisão.
• A regra geral: na divisão de potências de mesma base, subtraia os expoentes; na multiplicação, some. E lembre que subtrair negativo é somar: −5 − (−9) = +4.
• Eliminação em 30 segundos: o cabelo é visivelmente maior que o nanofio, então a razão tem de ser maior que 1. Isso derruba A, B e C de imediato, porque expoente negativo ou fracionário dá número pequeno. Restam D e E, e E é grande demais para qualquer objeto real.
• Temas que costumam vir junto: prefixos do Sistema Internacional (nano, micro, mili, quilo, mega), ordem de grandeza, arredondamento e conversão de unidades de comprimento.