Questão 157 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Áreas de figuras planas (círculo e quadrado) e manipulação algébrica de fórmulas
• ⚡ Nível: Médio — a ideia central é simples (igualar duas áreas), mas isolar R corretamente e resistir a cinco alternativas algebricamente parecidas exige atenção
• 🎯 Tema/Habilidade: Equivalência de áreas entre figuras planas; competência de modelar matematicamente uma situação-problema (H25/H26 da matriz do ENEM)
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Encontre a fórmula que dá o raio R de um círculo cuja área é igual à área de um quadrado de lado L."
• Palavras-chave decisivas: área equivalente, raio R, lado L
• Armadilha típica: confundir a fórmula da área do círculo (πR²) com a fórmula da circunferência (2πR), ou confundir a área do quadrado (L²) com o seu perímetro (4L) — erros que geram exatamente os distratores da questão.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar a equação "área do círculo = área do quadrado" e isolar R com álgebra correta, mantendo a coerência das unidades (R deve ter dimensão de comprimento, não de área).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área do quadrado: para um quadrado de lado L, a área é A_quadrado = L² (comprimento ao quadrado, unidade de área).
• Área do círculo: para um círculo de raio R, a área é A_círculo = πR² — não confundir com o comprimento da circunferência, que é C = 2πR (esta é uma medida linear, não uma área).
• Equivalência de áreas: duas figuras têm "área equivalente" quando seus valores numéricos de área são iguais, mesmo tendo formatos diferentes. Isso gera uma equação que relaciona as medidas lineares de cada figura (aqui, R e L).
• Análise dimensional como ferramenta de checagem: se R representa um comprimento, qualquer fórmula final para R só pode conter, sob uma raiz quadrada, uma grandeza de área (dimensão L²) dividida por um número puro. Uma fórmula que produza R com "cheiro" de área (sem raiz) ou de "raiz de comprimento" está dimensionalmente errada — um atalho poderoso para descartar alternativas.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "tampos de vidro com formatos diferentes, porém com medidas de áreas iguais" → a condição do problema é uma igualdade entre duas áreas, não entre perímetros nem entre lado e raio diretamente.
• Evidência 2: "raio R de um tampo de vidro circular com área equivalente à de um tampo de vidro quadrado de lado L" → o círculo tem área πR² e o quadrado tem área L²; a tarefa é igualar essas duas expressões e isolar R.
• Evidência 3 (figura): a primeira imagem mostra exatamente um círculo com raio R indicado do centro até a borda e, ao lado, um quadrado com lado L indicado — confirmando visualmente que R e L são, respectivamente, o raio do círculo e o lado do quadrado, sem nenhuma informação numérica adicional (a resposta deve ser uma fórmula literal, não um valor).
• Síntese: o caminho de resolução é: escrever A_círculo = A_quadrado, ou seja, πR² = L², e então isolar R através de uma raiz quadrada, comparando o resultado com as cinco fórmulas apresentadas na segunda imagem.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a equação de áreas iguais

A área de um círculo de raio R é:

A_círculo = π × R²

A área de um quadrado de lado L é:

A_quadrado = L²

Como o vidraceiro quer que as duas áreas sejam iguais (tampos de mesma área, formatos diferentes), basta igualar as duas expressões:

π × R² = L²

Subpasso 4.2 — Isolar R

Isolando R² primeiro:

R² = L² ÷ π

Agora aplica-se a raiz quadrada dos dois lados (lembrando que R é uma medida de comprimento, portanto positiva):

R = √(L² ÷ π)

Como √(L²) = L (pois L > 0), a raiz pode ser simplificada, separando numerador e denominador:

R = L ÷ √π

Essa é a forma mais enxuta da fórmula: R = L/√π.

Subpasso 4.3 — Verificação

Para conferir, basta substituir de volta na equação original. Se R = L/√π, então:

R² = L²/π

π × R² = π × (L²/π) = L²

Ou seja, π × R² = L², que é exatamente a área do quadrado — a igualdade das áreas se confirma. Além disso, a análise dimensional fecha: dentro da raiz há L² (área) dividido por um número puro (π), e a raiz quadrada de uma área resulta em um comprimento, exatamente o que se espera de um raio R. Comparando com as cinco fórmulas da imagem de alternativas, R = L/√π corresponde exatamente à alternativa A.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) R = L/√π

✅ Correta: é exatamente o resultado de igualar πR² = L² e isolar R corretamente, como demonstrado no Passo 4. Dimensionalmente consistente (comprimento = raiz de área).

B) R = L/√(2π)

❌ Incorreta: essa fórmula equivale a resolver 2πR² = L², como se a área do círculo fosse o dobro de πR² — um erro clássico de quem confunde o "2" que aparece na fórmula do comprimento da circunferência (C = 2πR) e o cola indevidamente na fórmula da área (que não tem esse fator 2). É dimensionalmente consistente (por isso "parece" plausível), mas usa a constante errada.

C) R = L²/(2π)

❌ Incorreta: essa expressão surge de igualar o comprimento da circunferência (2πR) — em vez da área (πR²) — à área do quadrado: 2πR = L², de onde R = L²/(2π). O erro conceitual é trocar área do círculo por seu perímetro. É também a alternativa mais fácil de descartar por análise dimensional: aqui R fica proporcional a L² sem nenhuma raiz quadrada, o que faria R ter "unidade de área" em vez de comprimento — algo fisicamente impossível para um raio.

D) R = √(2L/π)

❌ Incorreta: corresponde a igualar πR² = 2L, tratando a área do quadrado como se fosse "2L" (por exemplo, metade do perímetro 4L, ou o dobro do lado) em vez de L². O erro é substituir a área L² por uma grandeza linear. Também falha na análise dimensional: dentro da raiz aparece L (comprimento), e a raiz de um comprimento não gera outro comprimento de forma consistente.

E) R = 2√(L/π)

❌ Incorreta: equivale a √(4L/π), ou seja, vem de igualar πR² = 4L — usando o perímetro do quadrado (P = 4L) no lugar da sua área (L²). É o mesmo tipo de confusão de D, mas partindo do perímetro completo em vez de "metade" dele. Mais uma vez, a presença de L (e não L²) dentro da raiz denuncia o erro dimensional.

🏆 Gabarito: A — R = L/√π é a única fórmula que nasce corretamente da igualdade πR² = L² (área do círculo = área do quadrado) e que respeita a coerência dimensional exigida de um raio.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa A resulta de igualar corretamente as fórmulas de área (πR² = L²) e isolar R com uma raiz quadrada bem aplicada; todas as demais trocam área por perímetro/circunferência ou inserem constantes indevidas.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência problemas de "equivalência de área" entre figuras diferentes (círculo, quadrado, retângulo, triângulo) pedindo que o estudante monte e manipule uma equação literal — é um clássico teste de modelagem matemática, não de cálculo numérico puro.
• Generalização: sempre que duas figuras tiverem "a mesma área", a estratégia é escrever A₁ = A₂ com as fórmulas corretas de cada figura e isolar a incógnita pedida; nunca misture fórmulas de área com fórmulas de perímetro/circunferência, pois elas têm dimensões físicas diferentes.
• Dica de eliminação rápida: use a análise dimensional como filtro: a incógnita pedida (aqui, um raio) só pode aparecer, ao final, como "raiz quadrada de uma área". Isso elimina de cara qualquer alternativa sem raiz quadrada (como a C) e qualquer alternativa com apenas L de primeiro grau dentro da raiz (como D e E), sobrando apenas A e B para análise mais fina da constante.
• Conexões: este raciocínio se conecta diretamente com problemas de "área equivalente" entre círculo e triângulo, cálculo do lado de um quadrado com mesma área de um retângulo, e questões de escala/semelhança que também exigem manter a coerência dimensional entre comprimento, área e volume.