Questão 141 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (Volume do Cilindro) e resolução de equações do 2º grau
• ⚡ Nível: Médio — exige montar duas equações de volume a partir de um mesmo contexto e depois subtrair os raios encontrados, em vez de simplesmente comparar volumes
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo do volume de um cilindro circular reto aplicado a um problema de proporcionalidade (peixes por metro cúbico); competência de resolver situações-problema que envolvem o cálculo de volumes de sólidos geométricos (H8/H9 da Matemática no ENEM)
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descubra em quantos metros o raio do tanque cilíndrico precisa crescer para que, mantendo a profundidade de 2 m, a capacidade suba de 750 para 900 peixes, sabendo que a densidade é sempre 5 peixes por m³."
• Palavras-chave decisivas: profundidade fixa, 5 peixes para cada metro cúbico, aumento da medida do raio
• Armadilha típica: calcular corretamente os quadrados dos raios (r² = 25 e R² = 30), mas na hora de achar o "aumento" extrair a raiz da diferença dos quadrados (R² − r² = 5) em vez de calcular cada raio separadamente e depois subtrair (R − r). Isso confunde a identidade algébrica (R − r) com √(R² − r²), que só coincidem em casos particulares — aqui não coincidem, e é exatamente essa armadilha que gera a alternativa C.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato sabe (1) traduzir "peixes por m³" em volume, (2) aplicar corretamente V = π·r²·h para os dois cenários e (3) entender que o "aumento do raio" é a diferença R − r, e não uma manipulação direta dos quadrados.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Volume do cilindro circular reto: V = π·r²·h, em que r é o raio da base e h é a altura (aqui, a profundidade do tanque, fixa em 2 m).
• Grandezas diretamente proporcionais: o número de peixes é proporcional ao volume de água (5 peixes/m³), então volume = número de peixes ÷ densidade.
• Isolamento de variável em equação quadrática: ao isolar r em π·r²·h = V, obtém-se r² = V/(π·h) e, em seguida, r = √(V/(π·h)) — a raiz só deve ser extraída depois de isolar r², nunca antes.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "o tanque deve ter, exatamente, 2 metros de profundidade" → a altura h = 2 m é constante em toda a resolução; só o raio muda.
• Evidência 2: "dimensionado de forma a comportar 5 peixes para cada metro cúbico de água" → a relação peixes/volume é fixa: volume (m³) = número de peixes ÷ 5.
• Evidência 3: "comporta um total de 750 peixes" ... "aumentar a capacidade do tanque para que ele comporte 900 peixes" → existem dois cenários (750 peixes/raio atual r e 900 peixes/raio novo R) e a pergunta é o valor de R − r.
• Síntese: o problema pede duas aplicações da fórmula do cilindro (uma para 750 peixes, outra para 900 peixes), com a mesma altura e π ≈ 3, seguidas da subtração dos raios obtidos — não da subtração direta dos volumes ou dos quadrados dos raios.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Volume atual e raio atual (r)

Como há 5 peixes para cada m³ e o tanque comporta 750 peixes atualmente, o volume atual de água é:

V₁ = 750 ÷ 5 = 150 m³

Aplicando a fórmula do cilindro, com π ≈ 3 e h = 2 m:

V₁ = π·r²·h

150 = 3 · r² · 2

150 = 6·r²

r² = 25

r = 5 m

Subpasso 4.2 — Volume desejado e novo raio (R)

Para comportar 900 peixes, o novo volume necessário é:

V₂ = 900 ÷ 5 = 180 m³

Novamente pela fórmula do cilindro, mantendo h = 2 m:

V₂ = π·R²·h

180 = 3 · R² · 2

180 = 6·R²

R² = 30

R = √30 m

Subpasso 4.3 — Verificação: o aumento do raio

O "aumento da medida do raio" pedido pela questão é a diferença entre o raio novo e o raio atual:

Aumento = R − r = √30 − 5

Note que √30 ≈ 5,48 m, então o aumento é de aproximadamente 0,48 m — um valor pequeno e coerente, já que o número de peixes cresceu apenas 20% (de 750 para 900) e o volume cresce com o quadrado do raio, não linearmente. Esse resultado, √30 − 5, corresponde exatamente à alternativa A.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) √30 − 5

✅ Correta: é exatamente R − r, com R = √30 (raio necessário para 900 peixes) e r = 5 (raio atual para 750 peixes), ambos obtidos isolando corretamente a variável em V = π·r²·h antes de extrair a raiz quadrada.

B) (√30 − 5)/2

❌ Incorreta: essa alternativa nasce de dividir o resultado correto por 2 sem motivo matemático — um erro típico de quem, por associação automática com a altura h = 2 m do tanque, acredita (erroneamente) que o aumento do raio também deve ser "normalizado" pela altura. A altura já foi corretamente usada dentro da equação do volume; ela não entra de novo na etapa da subtração dos raios.

C) √5

❌ Incorreta: é a armadilha central da questão. Quem calcula R² = 30 e r² = 25 e, em vez de extrair cada raiz separadamente, subtrai os quadrados (R² − r² = 5) e tira a raiz dessa diferença, obtém √5. Esse procedimento está errado porque √(R² − r²) ≠ R − r (a igualdade correta seria R² − r² = (R − r)·(R + r), e não (R − r)²). É um erro clássico de confundir "diferença de quadrados" com "quadrado da diferença".

D) 5/2

❌ Incorreta: nasce de tratar a relação entre volume e raio como linear (V ∝ r, em vez de V ∝ r²), "perdendo" o efeito do quadrado ao isolar a variável. O volume de um cilindro cresce com o quadrado do raio, então qualquer atalho que ignore essa potência produz um valor bem menor que o real.

E) 15/2

❌ Incorreta: também decorre de ignorar a estrutura quadrática da fórmula, operando diretamente com a diferença de volumes (180 − 150 = 30) e distribuindo-a de forma linear entre π e h, sem isolar r² e extrair a raiz corretamente. O valor foge muito do resultado real (≈ 0,48 m), incompatível com o pequeno aumento de 20% no número de peixes.

🏆 Gabarito: A — o aumento do raio é R − r = √30 − 5, obtido isolando corretamente r² = 25 (para 750 peixes) e R² = 30 (para 900 peixes) na fórmula V = π·r²·h, e só então subtraindo os dois raios.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa A preserva a ordem correta das operações — isolar cada raio individualmente (extraindo a raiz quadrada de cada r² separadamente) antes de subtrair; qualquer manipulação que misture as etapas (subtrair volumes, subtrair quadrados, dividir por fatores extras) produz um valor algebricamente diferente de √30 − 5.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora comparar "duas versões" do mesmo sólido geométrico e pedir a diferença entre uma medida linear (raio, altura, aresta) — formato recorrente em Geometria Espacial, quase sempre em contexto real (tanques, caixas d'água, piscinas, silos).
• Generalização: ao pedir "quanto uma medida linear aumentou" a partir de volumes diferentes, resolva as duas situações separadamente até isolar a medida linear e só depois subtraia os resultados — nunca subtraia volumes e tente "desfazer" a potência de uma vez só.
• Dica de eliminação rápida: r = 5 sai redondo (150 ÷ 6 = 25, raiz exata); como 30 não é quadrado perfeito, a resposta certa precisa conter um radical de 30, o que já elimina D e E (frações "limpas" demais) em segundos.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em volume de caixas d'água, piscinas e silos, e em problemas de razão entre volumes de sólidos semelhantes, que exploram a ideia de que o volume varia com o quadrado ou o cubo das medidas lineares.