Questão 142 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática Financeira → Porcentagens sucessivas e composição de expressões algébricas
• ⚡ Nível: Médio — exige entender que o imposto da 2ª etapa incide sobre um valor já acrescido de imposto, e não apenas "somar" percentuais
• 🎯 Tema/Habilidade: Tributação cumulativa (efeito "imposto sobre imposto") — competência de modelar algebricamente uma situação financeira com aumentos percentuais em cadeia
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Escreva a expressão algébrica que representa apenas o valor pago em impostos (PIS + Cofins) pelo consumidor final, depois de o produto passar por duas etapas de revenda com imposto cumulativo de 3,65%."
• Palavras-chave decisivas: cumulativo, sem que... possa ser abatido, valor pago em impostos (não o preço final!)
• Armadilha típica: confundir "valor pago em impostos" com "preço final pago pelo consumidor" — muitos alunos marcam a alternativa que dá o preço total (C, alternativa incorreta), não o total de imposto embutido nele.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de separar, em cada etapa da cadeia de revenda, o valor do imposto cobrado, somando-os corretamente sem "abater" o imposto pago antes — exatamente porque o tributo é cumulativo.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Imposto cumulativo: incide em cada etapa da circulação da mercadoria sobre o preço praticado naquela etapa (que já inclui o imposto da etapa anterior), sem direito a crédito/abatimento do que já foi pago antes. Isso gera o efeito conhecido como "imposto sobre imposto".
• Acréscimo percentual em cadeia: quando um valor V recebe um acréscimo de taxa i, o novo valor é V×(1+i). Se esse novo valor sofrer novo acréscimo de mesma taxa i, o resultado final é V×(1+i)², e não V×(1+2i) — a diferença entre essas duas expressões é justamente o termo quadrático i², que representa o imposto cobrado sobre o imposto anterior.
• Distinção entre "preço final" e "imposto pago": o preço final é o valor total que o consumidor desembolsa (C×1,0365²); o "imposto pago" é apenas a soma das duas parcelas de tributo cobradas ao longo da cadeia, que é o que a questão pede.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "incide em duas ou mais etapas da circulação de mercadorias, sem que na etapa posterior possa ser abatido o montante pago na etapa anterior" → confirma que o imposto da 2ª etapa não desconta o da 1ª: as duas parcelas de imposto se somam integralmente sobre a base de cada etapa.
• Evidência 2: "ele é revendido para uma loja pelo preço inicial acrescido dos impostos... revendido por essa loja ao consumidor pelo valor pago acrescido novamente dos mesmos impostos" → revela a estrutura em duas etapas: 1ª etapa parte de C; 2ª etapa parte do preço já com imposto embutido (C×1,0365), não mais de C puro.
• Síntese: a questão pede a soma dos dois valores de imposto — o da 1ª etapa (calculado sobre C) e o da 2ª etapa (calculado sobre C×1,0365, já acrescido) —, não o preço final da mercadoria.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Modelando a 1ª etapa (fabricante → loja)

O produto sai com preço inicial C. O imposto de 3,65% incide sobre C:

Imposto₁ = C × 0,0365

A loja paga, portanto:

Preço pago pela loja = C + C×0,0365 = C×(1 + 0,0365) = C×1,0365

Subpasso 4.2 — Modelando a 2ª etapa (loja → consumidor)

Agora a base de cálculo não é mais C, e sim o valor que a loja pagou, C×1,0365 — pois o enunciado diz que o novo acréscimo incide "sobre o valor pago" (que já inclui o imposto anterior, sem abatimento). Logo:

Imposto₂ = 0,0365 × (C×1,0365) = 0,0365C + 0,0365²C

Repare que esse imposto tem duas parcelas: uma igual à da 1ª etapa (0,0365C) e outra extra (0,0365²C) — essa parcela extra é exatamente o "imposto cobrado sobre o imposto", a marca registrada da cumulatividade.

Subpasso 4.3 — Somando os dois impostos e verificando

O total pago em impostos pelo consumidor é a soma das duas parcelas cobradas ao longo da cadeia (já que nada é abatido):

Total = Imposto₁ + Imposto₂

Total = C×0,0365 + (0,0365C + 0,0365²C)

Total = 0,0365C + 0,0365C + 0,0365²C

Total = 2×(C×0,0365) + C×0,0365²

Total = 2C×0,0365 + C×0,0365²

Essa expressão bate exatamente com a alternativa E. Como checagem cruzada, o preço final pago pelo consumidor seria C×1,0365² = C×(1 + 2×0,0365 + 0,0365²) = C + [2C×0,0365 + C×0,0365²], confirmando que o termo entre colchetes — o imposto total — é justamente o que encontramos.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) C × 0,0365

❌ Incorreta: representa apenas o imposto da 1ª etapa (sobre o preço inicial C). Ignora completamente o segundo imposto cobrado quando a loja revende ao consumidor — trata a cadeia como se houvesse uma única etapa de tributação.

B) 2C × 0,0365

❌ Incorreta: é o erro mais sedutor da questão. Assume, de forma linear e ingênua, que "duas etapas de 3,65% sobre C" equivalem a simplesmente dobrar o valor do imposto da 1ª etapa (2×C×0,0365). Isso ignora que o imposto da 2ª etapa não incide sobre C, e sim sobre C×1,0365 (valor já com o primeiro imposto embutido) — faltando exatamente o termo C×0,0365² que aparece na resposta correta.

C) C × 1,0365²

❌ Incorreta: essa expressão é o preço final pago pelo consumidor (produto + os dois impostos acumulados), não o "valor pago em impostos". Confunde o total desembolsado com a parcela referente exclusivamente ao tributo.

D) C × (1 + 2 × 0,0365)

❌ Incorreta: seria uma aproximação linear do preço final (não do imposto), como se os 3,65% de cada etapa incidissem sempre sobre o C original, sem efeito composto. Além de representar preço (e não imposto), essa expressão nem sequer é o preço final correto, pois falta o termo quadrático C×0,0365² presente em C×1,0365².

E) 2C × 0,0365 + C × 0,0365²

✅ Correta: é exatamente a soma do imposto da 1ª etapa (C×0,0365) com o imposto da 2ª etapa (0,0365C + 0,0365²C), resultando em 2×(C×0,0365) + C×0,0365². Essa expressão isola corretamente o valor tributário — e não o preço total — capturando o efeito de "imposto sobre imposto" típico da cumulatividade.

🏆 Gabarito: E — a expressão soma os dois impostos cobrados nas duas etapas de revenda, incluindo a parcela extra (C×0,0365²) gerada pelo fato de o segundo imposto incidir sobre um valor que já contém o primeiro imposto, sem direito a abatimento.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa E isola corretamente o valor do imposto (não do preço) e contempla o efeito composto do segundo tributo incidindo sobre um valor já tributado — as demais ou calculam o preço final, ou tratam a cadeia de forma linear.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente cobra situações de "aumentos ou descontos percentuais sucessivos" (juros compostos, reajustes em cadeia, tributos em cascata), sempre testando se o aluno sabe diferenciar acréscimo linear (V×(1+2i)) de acréscimo composto (V×(1+i)²).
• Generalização: sempre que um percentual i incidir duas vezes seguidas sobre um valor V (cada vez sobre o valor já corrigido), o valor final é V×(1+i)² e o total do que foi acrescentado (juros, imposto, reajuste) é V×(1+i)² − V = 2Vi + Vi² — nunca simplesmente 2Vi.
• Dica de eliminação rápida: primeiro identifique se a pergunta quer o preço final (elimine A, B, E — que não são preços) ou o valor do imposto (elimine C — que é preço final, e D — que também tenta ser preço, só que de forma linear e incompleta); depois, entre as candidatas a "valor de imposto", desconfie de qualquer expressão sem termo quadrático (i²), pois ela ignora o efeito cumulativo.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões de juros compostos (montante = capital×(1+i)ⁿ) e em problemas de reajustes salariais ou de preços aplicados em sequência — dominar a diferença entre "somar percentuais" e "compor percentuais" resolve uma família inteira de questões do ENEM.