Questão 140 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Sistemas de numeração (bases não decimais) e divisão euclidiana
• ⚡ Nível: Médio — exige interpretar um sistema numérico novo (base 20) a partir de exemplos e aplicar divisão com resto, sem fórmula pronta
• 🎯 Tema/Habilidade: Conversão entre sistemas de numeração posicionais (H2/H9 — Matemática e suas Tecnologias, competência de resolver situações-problema envolvendo diferentes bases de numeração)
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descubra como o número 359 (em base 10) é escrito no sistema vigesimal maia, usando pontos (unidades) e barras (grupos de 5)."
• Palavras-chave decisivas: coluna vertical, grupos de 20 unidades, soma das quantidades
• Armadilha típica: inverter a leitura da coluna — confundir qual figura (a de cima ou a de baixo) representa os grupos de 20 e qual representa as unidades simples, ou errar a contagem de pontos/traços ao "traduzir" o número 17 ou o número 19 para os símbolos maias.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de decompor 359 como (quantidade de grupos de 20) × 20 + (unidades restantes), e depois converter cada uma dessas duas quantidades para a notação de pontos (1) e barras (5) do sistema maia.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Sistema posicional em base 20 (vigesimal): assim como no sistema decimal a posição de um algarismo indica se ele vale unidades, dezenas, centenas etc., no sistema maia a posição vertical indica se o valor representado deve ser multiplicado por 1 (linha de baixo) ou por 20 (linha de cima), para números entre 19 e 360.
• Codificação dos símbolos 0-19: cada bloco de 5 unidades vira uma barra horizontal, e o que sobra (0 a 4) vira pontos. Assim, 17 = 3 barras (15) + 2 pontos (2); 19 = 3 barras (15) + 4 pontos (4). O zero é a única exceção, representado por uma "tigela" (concha), e não por barras/pontos.
• Divisão euclidiana como ferramenta de conversão: para escrever qualquer número N entre 19 e 360 no sistema maia, basta calcular N = q × 20 + r, com 0 ≤ r < 20. O quociente q vira a figura de cima, e o resto r vira a figura de baixo.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "a superior representa a quantidade de grupos de 20 unidades e a inferior, a quantidade de unidades" → define exatamente qual operação matemática cada símbolo da coluna representa: figura de cima = quociente da divisão por 20; figura de baixo = resto.
• Evidência 2: os exemplos da figura de apoio — 44 = 2 × 20 + 4, 79 = 3 × 20 + 19 e 216 = 10 × 20 + 16 — → confirmam o algoritmo: todo exemplo é a decomposição N = q×20 + r, com q desenhado em cima e r embaixo, cada um seguindo a regra de barras (grupos de 5) e pontos (unidades restantes).
• Síntese: a questão não pede nenhuma "invenção" de regra — ela já entrega o algoritmo pronto nos exemplos. Basta repetir o procedimento para N = 359: achar q e r na divisão por 20, e depois desenhar q e r cada um em barras e pontos.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Dividir 359 por 20 para achar quociente e resto

Como todo número entre 19 e 360 é escrito como q × 20 + r, o primeiro passo é a divisão euclidiana:

359 ÷ 20 → 20 × 17 = 340, e 359 − 340 = 19

Logo: 359 = 17 × 20 + 19, com resto 19 < 20 (válido, pois o resto precisa ser menor que 20).

Isso significa que a figura de cima deve representar o número 17, e a figura de baixo deve representar o número 19 — exatamente como nos exemplos dados (79 = 3 × 20 + 19, por exemplo, também usa 19 embaixo).

Subpasso 4.2 — Converter 17 e 19 para a notação de barras e pontos

Pela tabela de símbolos de 0 a 19 (barra = 5 unidades, ponto = 1 unidade):

• 17 = 15 + 2 → 3 barras horizontais + 2 pontos
• 19 = 15 + 4 → 3 barras horizontais + 4 pontos

Portanto, a representação correta de 359 no sistema maia é uma coluna vertical em que:

• a figura superior mostra 3 barras e 2 pontos (valendo 17, multiplicado por 20 = 340);
• a figura inferior mostra 3 barras e 4 pontos (valendo 19 unidades).

Subpasso 4.3 — Verificação

Somando: 17 × 20 + 19 = 340 + 19 = 359 ✓

O resultado bate exatamente com o número pedido no enunciado, e o resto (19) respeita a regra de que a figura de baixo nunca pode "estourar" 19 (se desse 20, seria preciso "carregar" mais uma unidade para o grupo de 20, como no sistema decimal quando 10 unidades viram uma dezena). Esse é o par de figuras (17 em cima / 19 embaixo) que corresponde à alternativa A.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Coluna com 3 barras + 2 pontos em cima e 3 barras + 4 pontos embaixo

✅ Correta: representa exatamente 17 × 20 + 19 = 340 + 19 = 359, respeitando a regra "figura de cima = grupos de 20; figura de baixo = unidades" estabelecida no próprio enunciado.

B) Coluna que inverte a posição dos algarismos (19 em cima e 17 embaixo)

❌ Incorreta: trocar a ordem das figuras muda o valor calculado, pois passaria a valer 19 × 20 + 17 = 380 + 17 = 397, um número diferente de 359. O erro conceitual é ignorar que a posição vertical (superior/inferior) tem peso posicional diferente — não são intercambiáveis, assim como não se pode trocar dezena por unidade no sistema decimal.

C) Coluna com uma barra a menos no algarismo superior (equivalente a 16 em vez de 17)

❌ Incorreta: se a figura de cima representasse 16 (uma unidade a menos que 17), o total seria 16 × 20 + 19 = 320 + 19 = 339, não 359. O erro é de contagem: um ponto a menos na conversão do quociente já desloca o resultado por múltiplos de 20.

D) Coluna com um ponto a mais no algarismo inferior (equivalente a 20 unidades embaixo)

❌ Incorreta: o sistema maia nunca representa 20 unidades na linha de baixo, porque 20 unidades corresponderiam a mais um grupo completo de 20 — nesse caso, o valor deveria "subir" e virar mais uma unidade na figura de cima (assim como 10 unidades decimais viram uma dezena). Um resto de 20 é matematicamente inválido nesse sistema (o resto de uma divisão por 20 tem que ser menor que 20), revelando confusão sobre o próprio conceito de resto da divisão.

E) Coluna com um ponto a mais no algarismo superior (equivalente a 18 em vez de 17)

❌ Incorreta: com 18 em cima, o total seria 18 × 20 + 19 = 360 + 19 = 379, valor muito acima de 359. Esse erro típico surge de contar mal os pontos ao lado das três barras (18 = 3 barras + 3 pontos, não 2), mostrando falha na leitura fina do padrão de símbolos 15-19 apresentado no enunciado.

🏆 Gabarito: A — é a única coluna cuja soma (17 × 20 + 19) resulta exatamente em 359, obedecendo à regra de que a figura superior vale grupos de 20 e a inferior vale unidades simples.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente a alternativa A decompõe 359 corretamente em 17 grupos de 20 (340) mais 19 unidades, batendo com o valor pedido; qualquer alteração na contagem de barras/pontos ou na posição das figuras produz um número diferente.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma trazer sistemas de numeração "exóticos" (maia, romano, binário, egípcio) exibindo primeiro a regra e alguns exemplos resolvidos — a tarefa do candidato é replicar o algoritmo mostrado, não decorar o sistema de antemão.
• Generalização: para converter um número decimal N para qualquer sistema posicional de base b, sempre calcule N = q × b + r (divisão euclidiana), garanta que 0 ≤ r < b, e represente q e r segundo as regras específicas daquele sistema.
• Dica de eliminação rápida: antes de desenhar qualquer símbolo, calcule apenas o quociente e o resto da divisão de 359 por 20 (17 e 19). Qualquer alternativa cuja figura de baixo "pareça" ter 20 ou mais unidades, ou cuja figura de cima não corresponda a 17, já pode ser descartada sem nem analisar o restante da imagem.
• Conexões: o mesmo raciocínio de divisão euclidiana aparece em conversão de bases binária/hexadecimal (comum em questões de computação) e em problemas de sistema de numeração romano, onde também se decompõe o número em "blocos" com regras próprias de representação.