Questão 154 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (tronco de cone) combinada com Trigonometria no triângulo retângulo
• ⚡ Nível: Médio — exige montar um triângulo retângulo auxiliar a partir da figura (não fornecido pronto no texto) e aplicar corretamente a tangente de 60°
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo da área da base menor de um tronco de cone a partir de elementos combinados (diâmetro, altura e ângulo da geratriz) — competência de resolver situações-problema com grandezas geométricas
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule a área do círculo menor do tronco de cone (o pátio, destacado em cinza na Figura 2) e identifique em qual intervalo numérico ela se encaixa."
• Palavras-chave decisivas: tronco de cone, distância entre as bases, 60°
• Armadilha típica: confundir a base maior (diâmetro 50 m, topo do tronco) com o pátio — o pátio é a base menor, no fundo da figura, e sua medida não é dada diretamente: precisa ser calculada.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de extrair da Figura 2 um triângulo retângulo (altura, diferença de raios e ângulo de 60°), resolver esse triângulo com a tangente e, só então, aplicar a fórmula da área do círculo com as aproximações fornecidas.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Tronco de cone circular reto: sólido obtido ao cortar um cone por um plano paralelo à base; possui duas bases circulares paralelas de raios diferentes (R, maior, e r, menor) separadas por uma altura h.
• Triângulo retângulo da geratriz: ao "abrir" o tronco em um corte transversal pelo eixo, a geratriz (lateral) forma a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são a altura h e a diferença de raios (R − r).
• Razão tangente: tan(ângulo) = cateto oposto ÷ cateto adjacente. Aqui, o ângulo de 60° fica entre a geratriz e o plano da base menor, logo tan(60°) = h ÷ (R − r).
• Área do círculo: A = π·r², aplicada ao raio da base menor (o pátio), usando as aproximações π ≈ 3 e √3 ≈ 1,7 fornecidas no enunciado.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "diâmetro da base maior mede 50 m" → raio da base maior R = 50 ÷ 2 = 25 m.
• Evidência 2: "12 m é a distância entre as duas bases" → altura do tronco h = 12 m.
• Evidência 3 (extraída da Figura 2): o ângulo de 60° está marcado exatamente no vértice inferior esquerdo, entre a geratriz do tronco e o plano do pátio (base menor, círculo cinza) → é o ângulo do triângulo retângulo auxiliar, oposto à altura h.
• Síntese: Com R = 25 m, h = 12 m e o ângulo de 60°, resolve-se o triângulo retângulo (h e R − r são catetos) para achar r; depois calcula-se a área π·r² com as aproximações dadas.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar o triângulo retângulo auxiliar

Imagine um corte vertical do tronco de cone passando pelo eixo central. Esse corte revela um trapézio, e a lateral (geratriz) forma, com a base menor e a linha vertical do eixo, um triângulo retângulo com:

• cateto vertical = h = 12 m (a distância entre as bases);
• cateto horizontal = R − r, sendo R = 25 m o raio da base maior e r o raio da base menor (pátio), que é a incógnita;
• ângulo de 60° entre a hipotenusa (geratriz) e o cateto horizontal, exatamente como indicado na Figura 2.

Subpasso 4.2 — Calcular R − r com a tangente de 60°

Como o ângulo de 60° está entre a geratriz e o cateto horizontal (R − r), a altura h é o cateto oposto a esse ângulo:

tan(60°) = h ÷ (R − r)

√3 = 12 ÷ (R − r)

R − r = 12 ÷ √3 = (12·√3) ÷ 3 = 4√3

Substituindo √3 ≈ 1,7:

R − r ≈ 4 × 1,7 = 6,8 m

Logo, o raio do pátio (base menor) é:

r = R − 6,8 = 25 − 6,8 = 18,2 m

Subpasso 4.3 — Calcular a área do pátio e verificar

Área = π·r² = 3 × (18,2)² = 3 × 331,24 = 993,72 m²

Verificação contra as alternativas: 993,72 está entre 900 e 1000, portanto pertence exatamente ao intervalo [900, 1 000] m² — coerente com a ordem de grandeza esperada (um pátio circular de raio pouco menor que a metade do diâmetro maior, 18,2 m, resulta numa área de ordem de milhares, não centenas pequenas).

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) [100, 200]

❌ Incorreta: esse intervalo é obtido se o estudante tratar a diferença (R − r) = 6,8 m como se já fosse o próprio raio do pátio, esquecendo de subtraí-la de R. Nesse caso, Área = π × 6,8² = 3 × 46,24 = 138,72 m², que cai em [100, 200] — mas 6,8 m é apenas a redução do raio, não o raio final do pátio.

B) [300, 400]

❌ Incorreta: esse intervalo surge ao confundir a razão trigonométrica correta, usando seno no lugar da tangente — calculando R − r = h ÷ sen(60°) = 12 ÷ 0,85 ≈ 14,12 m (tratando a hipotenusa como se fosse o cateto horizontal). Isso dá r ≈ 10,88 m e Área ≈ 3 × 118,4 ≈ 355,1 m², dentro de [300, 400], mas o triângulo do problema pede tangente (oposto/adjacente), não seno (oposto/hipotenusa).

C) [600, 700]

❌ Incorreta: resulta de outra inversão de razão trigonométrica — multiplicar em vez de dividir, calculando R − r = h × sen(60°) = 12 × 0,85 = 10,2 m. Isso dá r = 25 − 10,2 = 14,8 m e Área = 3 × 219,04 ≈ 657,1 m², dentro de [600, 700], mas essa operação não corresponde a nenhuma relação válida do triângulo retângulo da figura.

D) [900, 1 000]

✅ Correta: é o intervalo que contém o valor exato calculado corretamente, 993,72 m², obtido ao usar tan(60°) = h ÷ (R − r) para achar r = 18,2 m e, então, aplicar Área = π·r² = 3 × 18,2² com as aproximações fornecidas no enunciado (π ≈ 3 e √3 ≈ 1,7).

E) [1 000, 1 100]

❌ Incorreta: esse intervalo aparece se o valor correto de r = 18,2 m for calculado certo, mas a área for computada usando π ≈ 3,14 (o valor "decorado" da escola) em vez do π ≈ 3 explicitamente pedido no enunciado. Nesse caso, Área = 3,14 × 331,24 ≈ 1.040,1 m², que cai em [1.000, 1.100] — o erro aqui é ignorar a instrução de aproximação do próprio problema.

🏆 Gabarito: D — a área do pátio, calculada corretamente a partir do raio maior (25 m), da altura (12 m) e do ângulo de 60° indicado na figura, é 993,72 m², valor que pertence ao intervalo [900, 1 000].

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente a alternativa D contém o valor exato de 993,72 m², resultado da aplicação correta e sequencial da tangente de 60° (para achar o raio do pátio) seguida da fórmula da área do círculo com as aproximações fornecidas.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente combina sólidos geométricos (cones, troncos de cone, cilindros, prismas) com elementos trigonométricos extraídos de figuras — o candidato precisa "montar" um triângulo retângulo auxiliar que não vem pronto no enunciado, apenas na ilustração.
• Generalização: sempre que um tronco de cone (ou pirâmide) aparecer com um ângulo entre a geratriz e uma das bases, desenhe mentalmente (ou no rascunho) o triângulo retângulo formado pela altura, pela diferença de raios e pela geratriz — isso transforma um problema "geométrico complicado" em um exercício simples de razões trigonométricas.
• Dica de eliminação rápida: calcule sempre a ordem de grandeza primeiro: como R = 25 m, a área da base maior seria π×25² = 1.875 m². Como o pátio é a base menor, sua área precisa ser bem menor que 1.875 m², o que já elimina qualquer alternativa acima de 1.100-1.200 m² sem fazer conta alguma.
• Conexões: revise também "razões trigonométricas no triângulo retângulo" (seno, cosseno, tangente) e "área e volume de sólidos geométricos" (cone, cilindro, tronco de cone, prisma) — esse par de temas se repete com frequência nas provas de matemática do ENEM.