Questão 167 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (áreas de polígonos regulares e irregulares)
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar cálculo de área de quatro figuras diferentes com um raciocínio de contagem (quantas pessoas cabem em cada lado)
• 🎯 Tema/Habilidade: Áreas de figuras planas aplicadas a um problema de otimização do cotidiano (Competência de Área 2 — resolver situação-problema com grandezas geométricas)
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre as cinco mesas oferecidas, qual delas acomoda 6 pessoas com pelo menos 60 cm de espaço cada uma na borda e, ao mesmo tempo, tem a menor área de tampo possível?"
• Palavras-chave decisivas: "pelo menos 60 cm", "acomodar 6 pessoas", "menor área possível"
• Armadilha típica: escolher a mesa de menor área "no olho" (o quadrado de 60 cm, que é visivelmente a menor figura) sem antes conferir se ela realmente comporta as 6 pessoas exigidas.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir "60 cm por pessoa" em uma divisão inteira do comprimento de cada lado, somar quantas pessoas cabem em cada mesa, eliminar as que não atingem 6 e só então comparar áreas.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Alocação de pessoas por lado: como cada pessoa precisa de um segmento contínuo de, no mínimo, 60 cm, o número de pessoas que cabe em um lado de comprimento L é a parte inteira de L/60 (não se pode "juntar sobras" de lados diferentes).
• Área do hexágono regular: A = (3√3/2)·ℓ², onde ℓ é o lado.
• Área do retângulo: A = base × altura.
• Área do quadrado: A = ℓ².
• Área do triângulo equilátero: A = (√3/4)·ℓ².

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cada pessoa disponha de, pelo menos, 60 cm de espaço livre na borda" → a restrição é por lado da figura (segmento reto), e é um mínimo — logo, cada lado só "aceita" um número inteiro de pessoas de 60 cm cada.
• Evidência 2: "capaz de acomodar 6 pessoas" → a soma das capacidades de todos os lados de uma mesa precisa ser maior ou igual a 6; caso contrário, a mesa está automaticamente fora da disputa, não importa o quão pequena seja sua área.
• Evidência 3: "que deverá ter a menor área possível" → dentre as mesas que sobrarem depois do filtro de capacidade, a resposta é a de menor área.
• Síntese: o caminho de resolução tem duas etapas obrigatórias e em ordem: primeiro filtrar por capacidade (quem chega a 6 lugares), depois comparar área só entre as aprovadas nesse filtro.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Quantas pessoas cabem em cada mesa

Para cada lado de comprimento L, o número de lugares é ⌊L/60⌋ (parte inteira da divisão por 60).

• Mesa I (hexágono regular, lado 60 cm): 6 lados × ⌊60/60⌋ = 6 × 1 = 6 pessoas. ✔ atinge o mínimo.
• Mesa II (retângulo 130 × 60): 2 lados de 130 cm × ⌊130/60⌋ = 2 × 2 = 4, mais 2 lados de 60 cm × ⌊60/60⌋ = 2 × 1 = 2. Total = 4 + 2 = 6 pessoas. ✔ atinge o mínimo.
• Mesa III (retângulo 120 × 60): 2 lados de 120 cm × ⌊120/60⌋ = 2 × 2 = 4, mais 2 lados de 60 cm × 1 = 2. Total = 4 + 2 = 6 pessoas. ✔ atinge o mínimo.
• Mesa IV (quadrado, lado 60 cm): 4 lados × ⌊60/60⌋ = 4 × 1 = 4 pessoas. ✘ não atinge 6 — eliminada.
• Mesa V (triângulo equilátero, lado 120 cm): 3 lados × ⌊120/60⌋ = 3 × 2 = 6 pessoas. ✔ atinge o mínimo.

Subpasso 4.2 — Área das mesas que sobreviveram ao filtro (I, II, III e V)

• Mesa I: A = (3√3/2) × 60² = (3 × 1,732/2) × 3600 ≈ 2,598 × 3600 ≈ 9 353 cm².
• Mesa II: A = 130 × 60 = 7 800 cm².
• Mesa III: A = 120 × 60 = 7 200 cm².
• Mesa V: A = (√3/4) × 120² = (1,732/4) × 14 400 ≈ 0,433 × 14 400 ≈ 6 235 cm².

Subpasso 4.3 — Verificação: comparando as áreas válidas

Ordenando as áreas das mesas aprovadas: 9 353 (I) > 7 800 (II) > 7 200 (III) > 6 235 (V). A menor área entre as mesas que efetivamente acomodam 6 pessoas com 60 cm cada é a da Mesa V, o triângulo equilátero. A Mesa IV tinha a menor área de todas as cinco (3 600 cm²), mas foi eliminada no filtro de capacidade — essa é exatamente a armadilha que a questão testa: área mínima não vale nada se a mesa não cumpre a condição de acomodar as 6 pessoas.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Mesa I — hexágono regular, lado 60 cm

❌ Incorreta: acomoda exatamente 6 pessoas (uma por lado, no limite exato de 60 cm cada), mas é a mesa de maior área entre todas as que passam no filtro de capacidade (≈9 353 cm²). Muita gente erra aqui por intuição geométrica — "quanto mais lados, mais parecido com o círculo, menor a área para um dado perímetro" — mas essa regra vale para perímetro fixo contínuo, não para esse problema de encaixe discreto de pessoas.

B) Mesa II — retângulo 130 cm × 60 cm

❌ Incorreta: também acomoda 6 pessoas (2 nos lados maiores + 1 em cada lado menor), com área de 7 800 cm² — menor que a do hexágono, mas ainda maior que a das Mesas III e V.

C) Mesa III — retângulo 120 cm × 60 cm

❌ Incorreta: acomoda 6 pessoas com área de 7 200 cm², a segunda menor entre as opções válidas, mas ainda superior à da Mesa V.

D) Mesa IV — quadrado, lado 60 cm

❌ Incorreta: é a mesa de menor área de todas (3 600 cm²), o que a tornaria a escolha "óbvia" para quem lê o enunciado apressadamente. Só que ela comporta apenas 4 pessoas (uma por lado), não atendendo à exigência de acomodar 6 pessoas com 60 cm cada. É a armadilha central da questão.

E) Mesa V — triângulo equilátero, lado 120 cm

✅ Correta: acomoda exatamente 6 pessoas (2 lugares em cada um dos 3 lados, respeitando os 60 cm mínimos) e, entre todas as mesas que cumprem essa condição, é a que tem a menor área (≈6 235 cm²).

🏆 Gabarito: E — a Mesa V é a única que, simultaneamente, acomoda as 6 pessoas com 60 cm cada e apresenta a menor área de tampo entre as mesas aprovadas nesse critério.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: das cinco mesas, quatro (I, II, III e V) atendem à exigência de 6 lugares; entre elas, a Mesa V (triângulo equilátero de 120 cm) tem a menor área, cerca de 6 235 cm² — por isso a resposta é a letra E.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de misturar cálculo de área de polígonos com uma restrição prática de "encaixe" (pessoas, objetos, embalagens), forçando o candidato a filtrar as opções por viabilidade antes de otimizar.
• Generalização: sempre que um problema envolver distribuir elementos discretos (pessoas, itens) ao longo de uma medida contínua (borda, comprimento), use a função piso (parte inteira da divisão) por segmento — nunca some as sobras de lados diferentes como se fossem um único espaço contínuo.
• Dica de eliminação rápida: primeiro calcule a capacidade de cada mesa (pessoas por lado) e descarte de cara quem não chega a 6; só depois compare as áreas dos sobreviventes — isso evita cair na armadilha de escolher a menor área "de olho", como o quadrado da Mesa IV.
• Conexões: questões de área × perímetro com restrição prática, problemas de otimização geométrica e exercícios de embalagens/organização de espaço, temas recorrentes na prova de Matemática do ENEM.