Questão 144 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (triângulo equilátero, semelhança de triângulos e racionalização de radicais)
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar a relação altura-lado do triângulo equilátero com semelhança de triângulos e manipulação cuidadosa de radicais
• 🎯 Tema/Habilidade: Relações métricas em polígonos inscritos; competência de resolver situação-problema que envolve conhecimentos geométricos de área e semelhança
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sabendo que o quadrado inscrito na placa triangular tem área de 1 m², qual é o lado do triângulo equilátero que forma essa placa?"
• Palavras-chave decisivas: inscrita, triângulo equilátero, área do quadrado igual a 1 m²
• Armadilha típica: confundir o lado do quadrado com o lado do triângulo (eles não são iguais!), ou interromper o cálculo antes de terminar a divisão, ficando com um valor intermediário que "parece" resposta mas não é.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de identificar o triângulo menor formado acima do quadrado, montar a proporção de semelhança com o triângulo grande e isolar corretamente o lado L, aplicando a aproximação √3 ≈ 1,7 apenas na etapa final.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Altura do triângulo equilátero: para um triângulo equilátero de lado L, a altura relativa a qualquer lado vale H = (L√3)/2, obtida ao aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pela metade da base e pela altura.
• Semelhança de triângulos: quando um segmento paralelo à base "corta" um triângulo, o triângulo menor formado no topo é semelhante ao triângulo original — mesmo ângulo do vértice e lados correspondentes proporcionais.
• Racionalização de denominadores: transformar uma fração do tipo a/√3 em uma forma sem radical no denominador (multiplicando por √3/√3), o que evita distorções ao usar valores aproximados como √3 ≈ 1,7.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "no formato de um triângulo equilátero" → autoriza usar H = (L√3)/2 e todas as relações de simetria do triângulo equilátero.
• Evidência 2: a figura mostra o quadrado com a base apoiada sobre a base do triângulo e os dois vértices superiores tocando os lados inclinados → define exatamente a configuração geométrica: acima do quadrado sobra um triangulinho semelhante ao triângulo maior.
• Evidência 3: "a área do quadrado... mede 1 m²" → o lado do quadrado é s = √1 = 1 m, um valor direto e simples que serve de âncora para toda a resolução.
• Síntese: com s = 1 m fixado, o problema se resume a escrever a razão de semelhança entre o triângulo pequeno (base s, altura H−s) e o triângulo grande (base L, altura H), isolar L em função de s e só então aproximar √3 por 1,7.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Lado do quadrado

Como a área do quadrado é 1 m², e área = lado², temos:

s² = 1 → s = 1 m

Subpasso 4.2 — Montando a semelhança de triângulos

Seja L o lado do triângulo equilátero e H = (L√3)/2 sua altura. O quadrado de lado s tem a base sobre a base do triângulo e os dois vértices superiores tocando os lados inclinados. Isso cria, logo acima do quadrado, um triângulo menor — semelhante ao triângulo original — de base s e altura (H − s).

Pela semelhança (razão base/altura preservada):

L/H = s/(H − s)

Isolando: L(H − s) = sH → LH − Ls = sH → LH = s(H + L) → s = LH/(L + H)

Substituindo H = (L√3)/2 e simplificando:

s = √3·L / (2 + √3)

Como s = 1:

√3·L = 2 + √3

L = (2 + √3)/√3

Subpasso 4.3 — Racionalização, aproximação e verificação

Racionalizando o denominador (multiplicando por √3/√3):

L = (2√3 + 3)/3

Substituindo √3 ≈ 1,7:

L = (2 × 1,7 + 3)/3 = (3,4 + 3)/3 = 6,4/3 ≈ 2,13 m

Arredondando para uma casa decimal, como pedem as alternativas: L ≈ 2,1 m.

Verificação: entre as opções oferecidas, 2,1 m é exatamente a alternativa B, e o valor bate com a estimativa mais precisa (usando √3 = 1,732..., chega-se a L ≈ 2,15 m — a pequena diferença é só o efeito esperado da aproximação √3 ≈ 1,7 exigida pelo enunciado).

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1,6

❌ Incorreta: esse valor aparece quando se manipula errado a proporção entre s e L — por exemplo, subtraindo em vez de dividir os termos (2 − 0,4 = 1,6, usando a diferença 2√3 − 3 ≈ 0,4 fora do lugar certo da equação). Não é solução da equação de semelhança montada corretamente.

B) 2,1

✅ Correta: é exatamente o resultado da resolução completa, L = (2√3 + 3)/3 ≈ 6,4/3 ≈ 2,13 m, arredondado para 2,1 m — compatível com a aproximação √3 ≈ 1,7 indicada no enunciado.

C) 2,4

❌ Incorreta: surge de um erro conceitual comum — supor que o quadrado ocupa metade da altura do triângulo (H = 2s), o que leva a L = 2H/√3 = 4/1,7 ≈ 2,35 ≈ 2,4. Esse raciocínio ignora a real relação de semelhança entre o triângulo pequeno e o triângulo grande.

D) 3,7

❌ Incorreta: é o valor do numerador antes da racionalização, 2 + √3 ≈ 2 + 1,7 = 3,7. Quem para o cálculo em L = 2 + √3 (esquecendo de dividir por √3 para isolar L de fato) chega a esse resultado incompleto.

E) 6,4

❌ Incorreta: corresponde ao numerador já racionalizado, 2√3 + 3 ≈ 2 × 1,7 + 3 = 6,4, mas sem completar a última etapa — a divisão por 3. É o erro clássico de esquecer o denominador final da fração L = (2√3 + 3)/3.

🏆 Gabarito: B — a única alternativa que resulta da resolução completa da equação de semelhança L = (2√3 + 3)/3 ≈ 2,1 m, aplicando corretamente a aproximação √3 ≈ 1,7 apenas na etapa final do cálculo.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: B é a única alternativa numericamente consistente com a equação L = (2√3 + 3)/3, deduzida a partir da semelhança entre o triângulo pequeno formado acima do quadrado e o triângulo equilátero completo.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência polígonos inscritos em outros polígonos (quadrado em triângulo, círculo em quadrado etc.), sempre testando se o estudante reconhece a figura semelhante escondida na construção.
• Generalização: sempre que um segmento paralelo à base "recorta" um triângulo, o pedaço de cima é semelhante ao triângulo inteiro — monte a razão base/altura (ou base/base) entre as duas figuras semelhantes antes de qualquer outra manipulação algébrica.
• Dica de eliminação rápida: calcule mentalmente as etapas intermediárias, 2 + √3 ≈ 3,7 e 2√3 + 3 ≈ 6,4 — essas duas contas eliminam D e E, que são exatamente os "resultados parciais" de quem esquece de terminar a divisão.
• Conexões: revise também questões de círculo inscrito em quadrado, quadrado inscrito em círculo e razão áurea em construções geométricas — todas usam a mesma lógica de identificar a figura semelhante e escrever a proporção correta.