Questão 137 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Afim e Inequação do 1º Grau (modelagem de custo fixo + variável)
• ⚡ Nível: Fácil — basta montar duas expressões lineares e resolver uma inequação de 1º grau com uma única incógnita.
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de situações-problema com funções afins, comparando duas propostas comerciais e resolvendo uma inequação para achar o valor de fronteira (competência de tratar grandezas e suas relações).
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é o menor valor por clique que o provedor B pode cobrar, em um anúncio de 100 cliques, para faturar um total maior ou igual ao que o provedor A faturaria?"
• Palavras-chave decisivas: pelo menos, mesmo total, valor mínimo
• Armadilha típica: trocar as taxas fixas de contratação entre os dois provedores (usar R$ 50,00 para B e R$ 20,00 para A), ou esquecer de multiplicar o valor por clique pelos 100 cliques antes de comparar os totais — erros que levam a alternativas como 0,30 ou 0,14.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir um enunciado comercial em duas expressões de custo total (taxa fixa + valor variável × quantidade) e de interpretar corretamente "pelo menos o mesmo total" como uma inequação do tipo ≥, resolvendo-a para isolar o valor por clique.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim (custo total): modelo do tipo T(n) = b + a·n, em que b é a taxa fixa (independente da quantidade) e a é o valor cobrado por unidade — aqui, por clique. É o formato clássico usado no ENEM para comparar planos, pacotes e tarifas.
• Inequação do 1º grau: ferramenta para traduzir expressões como "pelo menos", "no mínimo" ou "não menos que" em uma relação de ordem (≥), permitindo isolar a incógnita e encontrar o intervalo de valores válidos.
• Valor de fronteira (ponto de equilíbrio): quando a pergunta pede o "valor mínimo" que satisfaz uma condição de "pelo menos igual", a resposta corresponde exatamente ao ponto em que as duas expressões se igualam — qualquer valor acima também serve, mas o menor valor válido é o da igualdade.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "O provedor A cobra R$ 0,10 por clique feito no anúncio, além do pagamento de uma taxa de contratação de R$ 50,00." → Define a função do provedor A: A(n) = 50 + 0,10·n, com taxa fixa de R$ 50,00 e R$ 0,10 por clique.
• Evidência 2: "O provedor B cobra uma taxa de contratação... no valor de R$ 20,00, mais um valor por clique feito no anúncio." → Define a função do provedor B com incógnita x: B(n) = 20 + x·n, com taxa fixa de R$ 20,00.
• Evidência 3: "Para um anúncio que receberá 100 cliques... venha a receber, pelo menos, o mesmo total que receberia o provedor A." → Fixa n = 100 e estabelece a condição B(100) ≥ A(100), ou seja, uma inequação que precisa ser resolvida para x.
• Síntese: o caminho é calcular o total fixo que A receberia com 100 cliques, escrever o total de B em função de x para os mesmos 100 cliques, montar a inequação "total de B ≥ total de A" e isolar x para encontrar o menor valor por clique que B deve fixar.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular o total que o provedor A receberia com 100 cliques

O total de A é a taxa fixa somada ao valor por clique multiplicado pela quantidade de cliques:

Total_A = 50 + 0,10 × 100

Total_A = 50 + 10

Total_A = R$ 60,00

Esse é o valor de referência que o provedor B precisa alcançar ou superar.

Subpasso 4.2 — Escrever o total do provedor B para 100 cliques, sendo x o valor por clique a ser fixado

Total_B = 20 + x × 100

Total_B = 20 + 100x

Subpasso 4.3 — Montar e resolver a inequação "pelo menos o mesmo total"

A condição do enunciado é Total_B ≥ Total_A:

20 + 100x ≥ 60

100x ≥ 60 − 20

100x ≥ 40

x ≥ 40 ÷ 100

x ≥ 0,40

Subpasso 4.4 — Verificação

O menor valor que satisfaz x ≥ 0,40 é exatamente x = 0,40. Conferindo: Total_B = 20 + 100 × 0,40 = 20 + 40 = R$ 60,00, que é igual a Total_A = R$ 60,00 — logo, "pelo menos o mesmo total" é satisfeito na igualdade. Testando um valor abaixo, como R$ 0,39, o total seria 20 + 39 = R$ 59,00, inferior a R$ 60,00, o que violaria a condição do enunciado. Portanto, R$ 0,40 é de fato o valor mínimo, confirmando a alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) R$ 0,11

❌ Incorreta: com esse valor, Total_B = 20 + 100 × 0,11 = 20 + 11 = R$ 31,00, muito abaixo dos R$ 60,00 de A. Esse valor lembra o preço por clique do provedor A (R$ 0,10) acrescido de um centavo, mas não decorre de nenhuma manipulação correta da inequação — é uma armadilha para quem apenas "ajusta" o valor de A sem calcular o total.

B) R$ 0,14

❌ Incorreta: Total_B = 20 + 100 × 0,14 = 20 + 14 = R$ 34,00, ainda muito distante de R$ 60,00. Esse valor costuma surgir de erro aritmético ao dividir a diferença das taxas fixas (30) por um número errado, sem considerar corretamente os 100 cliques.

C) R$ 0,30

❌ Incorreta: Total_B = 20 + 100 × 0,30 = 20 + 30 = R$ 50,00, que ainda é menor que R$ 60,00. É o erro clássico de quem calcula apenas a diferença entre as taxas fixas (50 − 20 = 30) e confunde esse resultado com o valor por clique, esquecendo de dividir corretamente pelos 100 cliques ou de somar o valor variável de A.

D) R$ 0,40

✅ Correta: é o valor exato que resolve a inequação 20 + 100x ≥ 60, tornando Total_B = R$ 60,00, igual ao Total_A. Como a questão pede o valor mínimo que garante "pelo menos o mesmo total", R$ 0,40 é a resposta, pois é o menor valor de x que satisfaz a condição — qualquer valor menor faz B receber menos que A.

E) R$ 0,41

❌ Incorreta: embora esse valor também satisfaça "pelo menos o mesmo total" (Total_B = 20 + 41 = R$ 61,00 ≥ R$ 60,00), ele não é o menor valor possível — a questão pede especificamente o valor mínimo, e R$ 0,40 já cumpre essa condição com folga zero. R$ 0,41 seria uma escolha válida, mas não a mínima exigida pelo enunciado.

🏆 Gabarito: D — R$ 0,40 é o único valor por clique que iguala exatamente o total do provedor B ao total do provedor A com 100 cliques, sendo portanto o menor valor que garante "pelo menos o mesmo total".

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: D é a única alternativa que resolve corretamente a inequação 20 + 100x ≥ 60, resultando em x ≥ 0,40 — e o valor mínimo desse intervalo é exatamente R$ 0,40.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência a comparação de dois planos ou propostas comerciais (taxa fixa + valor variável), pedindo o ponto de equilíbrio, o valor mínimo ou máximo que satisfaz uma condição, sempre por meio de inequações do 1º grau.
• Generalização: em problemas de "plano A vs. plano B" com taxa fixa mais valor por unidade, iguale (ou compare com ≥/≤) as duas expressões lineares para encontrar o ponto de equilíbrio; quando a pergunta pede "no mínimo" ou "pelo menos", a resposta quase sempre corresponde a esse ponto de igualdade.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro o total fixo do provedor conhecido (aqui, A = R$ 60,00 para 100 cliques). Em seguida, teste rapidamente cada alternativa multiplicando por 100 e somando a taxa fixa de B (R$ 20,00); qualquer resultado abaixo de R$ 60,00 pode ser eliminado de imediato, o que já descarta A, B e C em segundos.
• Conexões: sistemas de equações lineares, ponto de equilíbrio (break-even) em problemas de custo e receita, e funções de 1º grau aplicadas a contextos financeiros e comerciais.