Questão 169 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressão Geométrica / Crescimento Exponencial
• ⚡ Nível: Médio — exige montar corretamente o modelo de duplicação (contar o número certo de períodos) antes de fazer a conta, o que costuma gerar erro de "um a mais ou um a menos"
• 🎯 Tema/Habilidade: Crescimento exponencial por duplicação sucessiva (competência de área 5 do ENEM: construir e interpretar modelos matemáticos de fenômenos periódicos ou de crescimento/decrescimento)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sabendo que uma população dobra a cada 0,25 h e que, após 2 h, ela chegou a 189 440 indivíduos, qual era a população inicial x?"
• Palavras-chave decisivas: dobrava a cada 0,25 hora, período de duas horas, quantidade inicial
• Armadilha típica: calcular corretamente quantas vezes a população dobra (8 vezes), mas na hora de "desfazer" o crescimento dividir 189 440 por 8 em vez de dividir por 2⁸ = 256 — confundindo crescimento linear com exponencial.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir "dobra a cada X tempo" em uma potência de base 2, determinar corretamente o expoente (número de duplicações) e reverter a operação para achar o valor inicial.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Crescimento exponencial por duplicação: quando uma grandeza dobra a intervalos regulares de tempo T, depois de n desses intervalos ela vale (valor inicial) × 2ⁿ. É o mesmo raciocínio de uma progressão geométrica de razão 2.
• Número de períodos (n): para saber quantas vezes a duplicação ocorreu, divide-se o tempo total decorrido pelo tempo de cada duplicação: n = tempo total ÷ tempo de uma duplicação.
• Potência de base 2: 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32, 2⁶=64, 2⁷=128, 2⁸=256, 2⁹=512 — memorizar essa sequência agiliza (e muito) a prova.
• Operação inversa: se o valor final é obtido multiplicando o inicial por 2ⁿ, o valor inicial se obtém dividindo o valor final por 2ⁿ (não por n).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "por um período de duas horas" → o tempo total de observação é T_total = 2 h.
• Evidência 2: "a população de bactérias dobrava a cada 0,25 hora" → o tempo de cada duplicação é T = 0,25 h, ou seja, a cada 15 minutos a quantidade de bactérias dobra.
• Evidência 3: "constava... uma população de 189 440" → esse é o valor final, depois de todas as duplicações ocorridas nas 2 horas.
• Síntese: é preciso primeiro descobrir quantas duplicações couberam nas 2 horas (dividindo 2 por 0,25), depois montar a potência 2ⁿ correspondente e, por fim, dividir a população final por essa potência para isolar a população inicial x.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Determinar o número de duplicações (n)

O tempo total do experimento é 2 horas, e a cada 0,25 hora a população dobra. O número de vezes que a duplicação ocorre nesse intervalo é:

n = T_total ÷ T_duplicação = 2 ÷ 0,25 = 8

Ou seja, em 2 horas ocorrem exatamente 8 duplicações (a cada 0,25 h um novo salto, até completar as 2 h).

Subpasso 4.2 — Montar a equação de crescimento

Se x é a população inicial, depois de n = 8 duplicações a população final é:

População final = x × 2ⁿ = x × 2⁸

Como 2⁸ = 256, e a população final informada é 189 440:

x × 256 = 189 440

Isolando x:

x = 189 440 ÷ 256

Subpasso 4.3 — Verificação (cálculo e conferência)

Fazendo a divisão: 189 440 ÷ 256 = 740.

Confirmando no sentido contrário: 740 × 256 = 189 440. ✔ Bate exatamente com o valor dado no enunciado.

Portanto, a quantidade inicial de bactérias era x = 740, o que corresponde à alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 370.

❌ Incorreta: equivale a dividir 189 440 por 2⁹ = 512 (189 440 ÷ 512 = 370). Quem erra assim conta uma duplicação a mais do que realmente ocorre em 2 horas (usa n = 9 em vez de n = 8), geralmente por incluir erroneamente o "instante zero" como uma duplicação extra.

B) 740.

✅ Correta: é o resultado exato de x = 189 440 ÷ 2⁸ = 189 440 ÷ 256, encontrando corretamente n = 2 ÷ 0,25 = 8 duplicações e revertendo a multiplicação por 256 para achar a população inicial.

C) 1 480.

❌ Incorreta: corresponde a dividir 189 440 por 2⁷ = 128 (189 440 ÷ 128 = 1 480), ou seja, uma duplicação a menos do que o correto (n = 7 em vez de n = 8) — erro simétrico ao da alternativa A.

D) 11 840.

❌ Incorreta: esse valor equivale a dividir 189 440 por 2⁴ = 16 (189 440 ÷ 16 = 11 840). É o erro de quem interpreta mal o tempo de duplicação — como se a população dobrasse a cada 0,5 hora (apenas 4 duplicações em 2 horas) em vez de a cada 0,25 hora (8 duplicações). Uma leitura apressada do "0,25" trocado por "0,5" leva a essa resposta.

E) 23 680.

❌ Incorreta: é o erro conceitual mais grave e também o mais comum — o candidato identifica corretamente que há n = 8 duplicações, mas trata o crescimento como linear em vez de exponencial, dividindo 189 440 diretamente por 8 (189 440 ÷ 8 = 23 680) em vez de dividir por 2⁸ = 256. Esquece que "dobrar 8 vezes" significa multiplicar por 2 oito vezes seguidas, e não apenas multiplicar por 8.

🏆 Gabarito: B — a população inicial é 740, valor obtido ao dividir corretamente a população final (189 440) pela potência 2⁸ = 256, já que ocorrem exatamente 8 duplicações (2 h ÷ 0,25 h) durante o experimento.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente x = 740 satisfaz as duas condições do enunciado — 8 duplicações em 2 horas e resultado final de 189 440 bactérias; qualquer outro n (7, 9 ou 4) ou a troca de 2ⁿ por multiplicação simples leva a uma das armadilhas das outras alternativas.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora contextos biológicos (bactérias, vírus, células) ou financeiros (juros compostos) para cobrar crescimento exponencial disfarçado de "duplicação a cada X tempo" — o modelo é sempre P = P₀ × 2ⁿ, com n = tempo total ÷ tempo de cada duplicação.
• Generalização: sempre que o enunciado disser "dobra/triplica a cada intervalo T", calcule n = tempo total ÷ T, monte a potência (2ⁿ, 3ⁿ etc.) e só depois isole a incógnita — nunca misture a contagem de períodos com a multiplicação direta pela grandeza final.
• Dica de eliminação rápida: calcule mentalmente n = 2 ÷ 0,25 = 8 antes de olhar as alternativas. Se alguma resposta bater ao dividir 189 440 por 8 (sem elevar a potência), é a armadilha clássica — descarte-a, pois o crescimento é exponencial, não linear.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em meia-vida radioativa (decrescimento exponencial, dividindo por 2ⁿ) e em juros compostos (M = C × (1+i)ⁿ) — dominar a lógica "período → expoente" resolve as três famílias de problema.