Questão 165 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Álgebra (sistemas de equações, razões e proporções)
• ⚡ Nível: Médio — a questão não exige fórmulas complexas, mas exige traduzir corretamente uma frase relacional ("metade são homens") em equação, o que costuma confundir quem tenta somar as frações 1/4 e 2/3 diretamente.
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de problemas contextualizados envolvendo frações, razões e sistemas de equações do 1º grau (Competência de Área 5 do ENEM — construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade).
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descubra qual fração do total de funcionários é formada por homens, sabendo a taxa de escolaridade de cada gênero e a proporção entre eles entre os que têm ensino médio completo."
• Palavras-chave decisivas: 1/4 dos homens, 2/3 das mulheres, metade são homens
• Armadilha típica: somar diretamente 1/4 + 2/3 como se fossem frações do mesmo total (dando 11/12) e, a partir disso, tentar "dividir por 2" para achar a parte dos homens — isso ignora que 1/4 e 2/3 são frações de bases diferentes (do total de homens e do total de mulheres, respectivamente, não do total geral de funcionários).
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de nomear variáveis para grupos distintos (homens e mulheres), escrever corretamente quantos de cada grupo têm ensino médio completo, montar a equação da condição "metade são homens" e, a partir dela, isolar a razão homens/total.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Variáveis auxiliares: ao chamar de h o número de homens e m o número de mulheres, frases soltas do enunciado viram expressões algébricas manipuláveis.
• Fração de um subconjunto: "1/4 dos homens têm ensino médio completo" significa (1/4)·h, e não 1/4 do total de funcionários — cada fração do enunciado tem sua própria base.
• Equação de proporção interna: a frase "metade de um grupo A é X" se traduz por X = (1/2)·A, onde aqui A é o total de funcionários com ensino médio completo.
• Razão entre grandezas: resolvida a equação, chega-se a uma razão h : m (não a valores exatos); para converter em fração do total, usa-se um parâmetro k, fazendo h = 8k e m = 3k, por exemplo.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "1/4 dos homens que ali trabalham têm o ensino médio completo" → número de homens com ensino médio completo = h/4.
• Evidência 2: "2/3 das mulheres que trabalham na empresa têm o ensino médio completo" → número de mulheres com ensino médio completo = 2m/3.
• Evidência 3: "entre todos os que têm o ensino médio completo, metade são homens" → h/4 é igual à metade da soma (h/4 + 2m/3), que representa o total de funcionários escolarizados.
• Síntese: as três evidências formam uma única equação com duas incógnitas (h e m), que ao ser resolvida revela a razão fixa entre homens e mulheres — e é essa razão que permite calcular a fração pedida, h/(h+m).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Nomeando variáveis e escrevendo os grupos com ensino médio completo

Seja h o número de homens e m o número de mulheres na empresa.

• Homens com ensino médio completo: h/4
• Mulheres com ensino médio completo: 2m/3
• Total de funcionários com ensino médio completo: h/4 + 2m/3

Subpasso 4.2 — Traduzindo "metade são homens" em equação

A condição diz que os homens escolarizados equivalem à metade do total de escolarizados:

h/4 = (1/2) × (h/4 + 2m/3)

Multiplicando os dois lados por 2 para eliminar o (1/2):

h/2 = h/4 + 2m/3

Isolando os termos em h:

h/2 − h/4 = 2m/3

h/4 = 2m/3

Fazendo a multiplicação cruzada:

3h = 8m → h = 8m/3, ou seja, h/m = 8/3

Isso significa que, para cada 3 mulheres, há 8 homens na empresa — uma razão fixa, independente do tamanho real da empresa.

Subpasso 4.3 — Verificação e cálculo da fração pedida

Como h/m = 8/3, pode-se escrever h = 8k e m = 3k, para qualquer constante k > 0 (k representa uma "unidade" comum de contagem). O total de funcionários é:

Total = h + m = 8k + 3k = 11k

A fração de homens em relação ao total é:

h/Total = 8k / 11k = 8/11

Conferindo com k = 1: h = 8 homens, m = 3 mulheres, total = 11.

• Homens com ensino médio completo: 8/4 = 2
• Mulheres com ensino médio completo: (2/3)×3 = 2
• Total com ensino médio completo: 2 + 2 = 4
• Metade de 4 é 2, que é exatamente o número de homens escolarizados ✓

A condição do enunciado se confirma perfeitamente, validando h/Total = 8/11.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1/8

❌ Incorreta: esse valor surge de um erro comum — o estudante vê a fração 1/4 (dos homens escolarizados) e, ao tentar aplicar "metade são homens", simplesmente divide 1/4 por 2, chegando a 1/8. Esse atalho ignora que a condição "metade" se refere ao grupo dos que têm ensino médio completo (soma de homens e mulheres escolarizados), e não à fração 1/4 isoladamente.

B) 3/11

❌ Incorreta: é exatamente a fração complementar correta, m/Total = 3/11, ou seja, a proporção de mulheres na empresa. Quem marca essa alternativa resolveu o sistema corretamente, mas trocou homens por mulheres na razão final — um erro de leitura do que foi pedido, não de cálculo.

C) 11/24

❌ Incorreta: resulta do erro mais clássico da questão — somar diretamente as frações dadas no enunciado, 1/4 + 2/3, como se tivessem a mesma base (11/12), e depois dividir esse resultado por 2 por causa da palavra "metade", chegando a 11/24. Esse caminho é matematicamente inválido porque 1/4 é fração dos homens e 2/3 é fração das mulheres — bases diferentes não podem ser somadas como se fossem partes do mesmo total.

D) 2/3

❌ Incorreta: é simplesmente o dado bruto "2/3 das mulheres têm ensino médio completo", copiado diretamente do enunciado sem qualquer tratamento algébrico. Alguns candidatos, pressionados pelo tempo, escolhem a fração que "soa familiar" no texto em vez de resolver o sistema.

E) 8/11

✅ Correta: é o resultado exato obtido ao montar a equação h/4 = (1/2)(h/4 + 2m/3), resolvê-la para encontrar a razão h/m = 8/3, e converter essa razão em fração do total, h/(h+m) = 8/11 — confirmado pela verificação numérica com h = 8 e m = 3.

🏆 Gabarito: E — a fração de funcionários homens em relação ao total da empresa é 8/11, valor obtido ao traduzir corretamente as três informações do enunciado (1/4 dos homens, 2/3 das mulheres e "metade são homens") em uma única equação algébrica.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente 8/11 satisfaz simultaneamente as duas taxas de escolaridade dadas (1/4 e 2/3) e a condição de que metade dos funcionários escolarizados são homens; qualquer outra alternativa quebra uma dessas três informações ao ser testada por substituição.
• Padrão de cobrança: o ENEM frequentemente mistura frações ou percentuais referentes a subgrupos distintos (aqui, homens e mulheres) com uma condição relacionando o total combinado — o candidato precisa perceber que essas frações têm bases diferentes antes de operar com elas.
• Generalização: sempre que um problema apresentar taxas de subgrupos diferentes (ex.: "x parte dos homens", "y parte das mulheres") somadas a uma condição sobre o conjunto total, defina variáveis independentes para cada subgrupo, escreva a condição como equação e resolva a razão entre eles usando um parâmetro comum (k) para converter a razão em fração do total.
• Dica de eliminação rápida: desconfie de qualquer alternativa que reproduza literalmente um número já dado no enunciado (como 2/3 na alternativa D) — frações prontas no texto raramente são a resposta final de um problema que pede uma relação entre dois grupos. Também descarte somas diretas de frações com bases diferentes (armadilha que gera valores como 11/12 ou 11/24).
• Conexões: este tipo de raciocínio aparece em problemas de mistura e regra de três composta, além de exercícios de probabilidade condicional, nos quais também é preciso identificar corretamente a base de cada fração antes de operar com ela.