Questão 163 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções afins por partes (leitura e comparação de gráficos)
• ⚡ Nível: Médio — exige comparar dois gráficos simultaneamente, trecho a trecho, e não apenas ler um único gráfico isoladamente.
• 🎯 Tema/Habilidade: Interpretação de gráficos de taxa de variação (vazão) e determinação do sinal da variação de uma grandeza acumulada (volume) — competência de leitura e articulação de representações gráficas.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Em quais intervalos de tempo, entre 0 e 25 min, a quantidade de água dentro do reservatório está diminuindo?"
• Palavras-chave decisivas: vazões da torneira e do ralo, ao mesmo tempo, volume decresce
• Armadilha típica: olhar só o gráfico do ralo (achando que "ralo aumentando" já significa "volume caindo") ou só o gráfico da torneira, sem comparar os dois valores no mesmo instante. O volume só decresce quando o ralo escoa mais do que a torneira enche, não apenas quando um dos dois gráficos sobe ou desce isoladamente.
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar, em cada trecho de 5 em 5 minutos, qual das duas vazões é maior — a de entrada (torneira) ou a de saída (ralo) — e concluir que o volume decresce exatamente quando vazão do ralo > vazão da torneira.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Vazão (Q): taxa de variação de volume por unidade de tempo (L/min). É a "velocidade" com que a água entra (torneira) ou sai (ralo) do reservatório.
• Variação líquida de volume: em cada instante, o volume do reservatório varia segundo Q_torneira(t) − Q_ralo(t). Se essa diferença é positiva, o volume cresce; se é negativa, o volume decresce; se é nula, o volume está momentaneamente estacionário (ponto de máximo ou mínimo local).
• Função afim por partes (linear por trechos): cada gráfico é formado por segmentos de reta ligando pontos conhecidos nos eixos. Para comparar as duas vazões em qualquer instante, basta escrever a lei de cada segmento (y = at + b) e comparar os valores.
• Ponto de cruzamento: onde as duas retas (torneira e ralo) se cruzam, as vazões se igualam — é ali que o volume passa de crescente para decrescente (ou vice-versa), um "pico" ou "vale" da função volume.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "abastecido por uma torneira ao mesmo tempo que, por um ralo, escoa água" → os dois processos ocorrem simultaneamente; o efeito no reservatório é sempre a diferença entrada menos saída.
• Evidência 2: "os gráficos representam as vazões Q [...] da torneira e do ralo, em função do tempo t" → é preciso ler dois gráficos superpostos mentalmente (mesma escala de tempo, 0 a 25 min) e não apenas um.
• Síntese: a pergunta não pede "quando o ralo está aberto" nem "quando a torneira diminui", pede especificamente quando o saldo é negativo. Isso obriga a montar, para cada trecho de 5 minutos, os valores de Q_torneira(t) e Q_ralo(t) e comparar.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Levantar os valores de cada gráfico nos pontos notáveis (t = 0, 5, 10, 15, 20, 25)

Lendo o gráfico da Torneira (Q em L/min):

• t = 0 → Q = 10
• t = 5 → Q = 5
• t = 10 → Q = 10
• t = 15 → Q = 5
• t = 20 → Q = 5
• t = 25 → Q = 0

Lendo o gráfico do Ralo (Q em L/min):

• t = 0 → Q = 0
• t = 5 → Q = 5
• t = 10 → Q = 5
• t = 15 → Q = 5
• t = 20 → Q = 10
• t = 25 → Q = 10

Subpasso 4.2 — Comparar as vazões trecho a trecho

Trecho [0, 5]: Torneira cai de 10 para 5 (reta Q_t = 10 − t); Ralo sobe de 0 para 5 (reta Q_r = t).

Igualando: 10 − t = t → t = 5. Antes disso, Q_t > Q_r (por exemplo em t = 2: torneira = 8 > ralo = 2). Torneira enche mais do que o ralo escoa → volume cresce.

Trecho [5, 10]: Torneira sobe de 5 para 10 (reta Q_t = t); Ralo constante em 5.

Para t > 5, Q_t > 5 = Q_r (em t = 8: torneira = 8 > ralo = 5). Volume continua crescendo.

Trecho [10, 15]: Torneira cai de 10 para 5 (reta Q_t = 20 − t); Ralo constante em 5.

Q_t = 20 − t > 5 para todo t < 15 (em t = 12: torneira = 8 > ralo = 5). Só em t = 15 as vazões se igualam (Q_t = Q_r = 5). Volume ainda cresce, mas cada vez mais devagar — em t = 15 atinge o volume máximo.

Trecho [15, 20]: Torneira constante em 5; Ralo sobe de 5 para 10 (reta Q_r = t − 10).

Para t > 15, Q_r = t − 10 > 5 = Q_t (em t = 18: ralo = 8 > torneira = 5). Agora o ralo escoa mais do que a torneira enche → o volume decresce.

Trecho [20, 25]: Torneira cai de 5 para 0 (reta Q_t = 25 − t); Ralo constante em 10.

Como Q_t ≤ 5 em todo o trecho e Q_r = 10, temos sempre Q_r > Q_t (em t = 22: ralo = 10 > torneira = 3). O volume continua decrescendo.

Subpasso 4.3 — Verificação (síntese do comportamento do volume)

Resumindo o sinal de Q_torneira − Q_ralo em cada trecho:

| Intervalo | Q_torneira − Q_ralo | Volume |

|---|---|---|

| [0, 5] | positivo | cresce |

| [5, 10] | positivo | cresce |

| [10, 15] | positivo (→ 0 em t=15) | cresce (desacelerando) |

| [15, 20] | negativo | decresce |

| [20, 25] | negativo | decresce |

O volume cresce ininterruptamente de t = 0 até t = 15 (atingindo aí seu valor máximo) e decresce ininterruptamente de t = 15 até t = 25, sem nenhuma inversão no meio do caminho. Isso confirma que o intervalo de decrescimento é um bloco único e contínuo: entre 15 e 25 minutos, exatamente o que descreve a alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) entre 15 e 20 minutos.

❌ Incorreta: identifica corretamente o início do decrescimento (t = 15), mas para a análise cedo demais. Ignora que, no trecho seguinte [20, 25], o ralo (constante em 10 L/min) continua escoando mais água do que a torneira (que cai de 5 para 0 L/min), então o volume continua decrescendo até t = 25.

B) entre 15 e 25 minutos.

✅ Correta: do trecho [15,20] ao [20,25], em todo instante a vazão do ralo é maior ou igual à vazão da torneira, sem nenhuma reversão. O volume decresce de forma contínua desde o pico em t = 15 até o fim do intervalo analisado, em t = 25.

C) entre 0 e 5 minutos e entre 15 e 20 minutos.

❌ Incorreta: erra o primeiro trecho. Em [0, 5] a torneira (que cai de 10 para 5) ainda está acima do ralo (que sobe de 0 para 5) durante quase todo o intervalo — a torneira só se iguala ao ralo exatamente em t = 5. Logo o volume está crescendo em [0, 5], não decrescendo. Além disso, essa alternativa também erra por não incluir [20, 25].

D) entre 5 e 15 minutos e entre 20 e 25 minutos.

❌ Incorreta: em [5, 15] a torneira está sempre acima ou igual ao ralo (ela chega a 10 L/min em t = 10, enquanto o ralo permanece em 5 L/min), ou seja, o volume está crescendo nesse trecho, não decrescendo — é o oposto do que a alternativa afirma. A parte final, [20, 25], está certa isoladamente, mas falta o trecho [15, 20], que também é de decrescimento.

E) entre 0 e 5 minutos, entre 10 e 15 minutos e entre 20 e 25 minutos.

❌ Incorreta: combina três trechos em que, na verdade, o volume está crescendo (ainda que desacelerando em [10, 15], a torneira segue maior ou igual ao ralo) com apenas um trecho correto ([20, 25]). Um erro clássico é confundir "a torneira está diminuindo sua vazão" com "o volume está diminuindo" — são coisas diferentes.

🏆 Gabarito: B — o volume decresce exatamente quando a vazão do ralo supera a da torneira, o que ocorre de forma contínua e ininterrupta de t = 15 min (pico de volume, onde as vazões se igualam a 5 L/min) até t = 25 min.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a única faixa em que Q_ralo(t) > Q_torneira(t) durante todo o percurso, sem interrupção, é [15, 25] — por isso B é a única alternativa consistente com os dois gráficos.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de testar "leitura conjunta de gráficos" (dois gráficos que precisam ser comparados ponto a ponto), muito comum em questões de física (velocidade x tempo, corrente elétrica) e matemática (vazão, custo x receita, oferta x demanda). A lógica é sempre a mesma: o comportamento da grandeza acumulada (aqui, o volume) depende do sinal da diferença entre as duas taxas.
• Generalização: sempre que dois gráficos representam "entrada" e "saída" de uma mesma grandeza ao longo do tempo, a grandeza acumulada cresce onde entrada > saída, decresce onde saída > entrada, e tem ponto de máximo/mínimo exatamente onde as curvas se cruzam.
• Dica de eliminação rápida: localize primeiro os pontos de cruzamento entre os dois gráficos (onde as vazões são iguais) — eles marcam as fronteiras entre crescimento e decrescimento do volume. Aqui os cruzamentos estão em t = 5 e t = 15; qualquer alternativa que não respeite essas fronteiras (como A, que corta o trecho de decrescimento pela metade) pode ser eliminada de imediato.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões de "gráfico de posição a partir do gráfico de velocidade" (Física) e em problemas de "lucro = receita − custo" representados por dois gráficos de reta (Matemática financeira/funções afins).