Questão 158 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções (função constante, função afim e funções definidas por partes)
• ⚡ Nível: Médio — exige montar uma lei de formação em duas partes a partir de um texto e depois reconhecer essa lei em um gráfico, combinando interpretação, álgebra e leitura gráfica.
• 🎯 Tema/Habilidade: Construção e leitura de gráfico de função definida por partes (H8/H25 — interpretar gráfico cartesiano que representa a relação entre duas grandezas).
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre cinco gráficos, identifique o que representa corretamente o valor pago pela corrida de táxi em função da distância percorrida, sabendo que existe uma parte fixa e uma parte variável na cobrança."
• Palavras-chave decisivas: bandeirada (valor fixo), até 200 metros, R$ 0,02 por metro adicional
• Armadilha típica: desenhar (ou escolher) um gráfico que seja uma reta única passando pela origem, como se o preço fosse diretamente proporcional à distância desde o início — isso ignora que os primeiros 200 metros não geram cobrança extra e que a corrida nunca custa R$ 0,00.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir uma regra de cobrança em texto (fixo + variável, com um ponto de mudança de comportamento) para uma função por partes e, em seguida, reconhecer visualmente essa função entre gráficos parecidos, usando o próprio exemplo numérico do enunciado (600 m) como conferência.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função constante: enquanto a distância percorrida não ultrapassa um limite (200 m), o valor cobrado não muda — no gráfico, isso aparece como um segmento horizontal, com coeficiente angular igual a zero.
• Função afim: a partir do momento em que passa a existir uma taxa por metro adicional, o valor cresce linearmente; graficamente é uma semirreta inclinada, com coeficiente angular igual à taxa cobrada (R$ 0,02/m).
• Função definida por partes (piecewise): a lei de formação "quebra" em um ponto específico (aqui, d = 200 m). Um gráfico correto precisa ser contínuo nesse ponto — o segmento horizontal termina exatamente onde a semirreta crescente começa, sem saltos nem lacunas.
• Coeficiente angular como taxa de variação: R$ 0,02 por metro equivale a R$ 1,00 a cada 50 m ou R$ 2,00 a cada 100 m rodados além dos 200 m iniciais — essa proporção é o que define a inclinação visual correta do trecho crescente.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "a bandeirada, um valor fixo que é cobrado em qualquer corrida" → existe uma parcela que independe da distância; logo nenhum gráfico correto pode começar em (0; 0) — ele precisa começar em (0; 4,50).
• Evidência 2: "Para corridas de até 200 metros, é cobrada somente a bandeirada" → entre d = 0 e d = 200, o valor permanece constante em R$ 4,50, formando um patamar horizontal.
• Evidência 3: "para corridas superiores a 200 metros é cobrado o valor de R$ 0,02 para cada metro adicional percorrido" → a partir de d = 200, a função passa a crescer linearmente com coeficiente angular 0,02, e o "metro adicional" deixa claro que a taxa incide só sobre o excedente de 200 m, não sobre a distância total.
• Evidência 4: "elaborou um gráfico, com uma simulação para uma distância de 600 metros" → o próprio enunciado fornece um ponto de checagem: o gráfico certo precisa exibir exatamente o valor calculado para d = 600 m.
• Síntese: o gráfico correto precisa satisfazer três condições simultâneas — (i) valor inicial de R$ 4,50 (não zero), (ii) trecho constante até d = 200 m, e (iii) trecho crescente com inclinação 0,02 que produza o valor correto em d = 600 m.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a lei de formação por partes

Chamando V(d) o valor da corrida (em reais) e d a distância percorrida (em metros):

V(d) = 4,50, se 0 ≤ d ≤ 200

V(d) = 4,50 + 0,02·(d − 200), se d > 200

O termo (d − 200) garante que a taxa de R$ 0,02 incide apenas sobre os metros que excedem os 200 m cobertos pela bandeirada — esse detalhe é o que separa a alternativa correta das armadilhas.

Subpasso 4.2 — Calcular o valor de referência em d = 600 m (a simulação do enunciado)

V(600) = 4,50 + 0,02 × (600 − 200)

V(600) = 4,50 + 0,02 × 400

V(600) = 4,50 + 8,00

V(600) = R$ 12,50

Esse é o "ponto-âncora" que qualquer gráfico correto precisa reproduzir: em d = 600 m, o valor deve ser exatamente R$ 12,50 — nem mais, nem menos.

Subpasso 4.3 — Verificação com um segundo ponto e conferência da inclinação

Para confirmar a consistência da reta, calcula-se outro ponto intermediário, por exemplo d = 400 m:

V(400) = 4,50 + 0,02 × (400 − 200) = 4,50 + 4,00 = R$ 8,50

Conferindo o coeficiente angular entre os pontos (200; 4,50) e (600; 12,50):

m = (12,50 − 4,50) / (600 − 200) = 8,00 / 400 = 0,02 ✅

O valor bate exatamente com a taxa de R$ 0,02/m dada no enunciado. Assim, o gráfico procurado é aquele que sai de (0; 4,50), mantém-se horizontal até (200; 4,50) e depois sobe em linha reta até tocar (600; 12,50), com inclinação constante de 0,02.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Gráfico em que o valor cresce em linha reta desde a origem (0; 0), sem nenhum trecho constante.

❌ Incorreta: ignora completamente a bandeirada. Segundo esse gráfico, uma corrida de distância zero custaria R$ 0,00, o que contradiz diretamente "um valor fixo que é cobrado em qualquer corrida". Todo o raciocínio da questão desmorona se o gráfico parte da origem.

B) Gráfico que começa corretamente em R$ 4,50, mas já cresce de forma linear a partir de d = 0, sem manter o valor constante até 200 m.

❌ Incorreta: fere a regra "para corridas de até 200 metros, é cobrada somente a bandeirada". Deveria existir um patamar horizontal entre d = 0 e d = 200 antes de a reta começar a subir; aqui a cobrança adicional começa cedo demais, superestimando o valor da corrida para distâncias pequenas.

C) Gráfico com o patamar constante em R$ 4,50, porém com a mudança de inclinação ocorrendo em um ponto diferente de d = 200 m.

❌ Incorreta: desrespeita o limite exato estabelecido no enunciado para o fim da tarifa fixa. Deslocar o ponto de quebra (para antes ou depois de 200 m) altera todos os valores calculados a partir dali, inclusive o valor final em 600 m, que deixa de bater com R$ 12,50.

D) Gráfico com patamar constante em R$ 4,50 até d = 200 m e, a partir daí, reta crescente com coeficiente angular 0,02, atingindo exatamente R$ 12,50 em d = 600 m.

✅ Correta: reproduz fielmente as três condições exigidas pelo enunciado — início em R$ 4,50 (não em zero), trecho constante até 200 m e crescimento linear compatível com R$ 0,02 por metro, validado pelo próprio ponto de simulação fornecido (600 m; R$ 12,50), como demonstrado nos Subpassos 4.1 a 4.3.

E) Gráfico com patamar constante até 200 m e reta crescente depois, mas com inclinação maior do que 0,02 — como se a taxa adicional incidisse sobre a distância total percorrida, e não apenas sobre o trecho que excede 200 m.

❌ Incorreta: aplica a taxa variável de forma equivocada, gerando um valor diferente de R$ 12,50 em d = 600 m. Esse é exatamente o tipo de erro conceitual que confunde "metro adicional" com "metro total" — e falha no ponto de checagem que o próprio enunciado oferece.

🏆 Gabarito: D — é o único gráfico que combina corretamente valor inicial de R$ 4,50, patamar constante até 200 m e crescimento linear com taxa de R$ 0,02/m, resultando em R$ 12,50 exatamente em 600 m, como a simulação do enunciado exige.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa D é a única compatível simultaneamente com os três requisitos do texto (valor fixo diferente de zero, trecho constante até 200 m e taxa de 0,02 R$/m após esse ponto), confirmados algebricamente pelo cálculo V(600) = R$ 12,50.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora usar situações do cotidiano (táxi, conta de água, conta de luz, aluguel de carro) para cobrar funções definidas por partes — sempre com uma parcela fixa e uma parcela proporcional a partir de certo limite.
• Generalização: sempre que um problema descrever "um valor fixo até certo ponto, depois um valor que cresce proporcionalmente", monte a lei de formação em duas linhas (constante + afim) e use um ponto numérico dado no próprio enunciado para testar cada gráfico candidato — é mais rápido do que tentar "adivinhar" a forma da curva.
• Dica de eliminação rápida: primeiro, elimine qualquer gráfico que comece em (0; 0) — isso descarta quem ignora a bandeirada. Depois, calcule o valor no ponto de simulação dado (aqui, d = 600 m) e verifique qual gráfico bate exatamente com esse valor; isso costuma eliminar 2 ou 3 alternativas de uma vez.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões sobre tarifas de energia elétrica com bandeira tarifária, planos de internet com franquia de dados e tabelas de imposto de renda progressivo — todos são exemplos clássicos de funções definidas por partes no contexto do ENEM.