Questão 175 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise Combinatória (combinação com restrição de não adjacência + permutação simples)
• ⚡ Nível: Difícil — exige a técnica pouco intuitiva do "método das lacunas" para contar posições não adjacentes, combinada corretamente com a permutação de elementos distintos
• 🎯 Tema/Habilidade: Contagem com restrição de posição (combinação restrita × permutação) — competência de resolver situações-problema envolvendo diferentes tipos de agrupamento
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual expressão matemática calcula de quantas formas 3 agentes distintas podem ocupar 3 dos 6 vagões de um trem, de modo que nenhuma delas fique em vagão adjacente a outra?"
• Palavras-chave decisivas: três agentes, 6 vagões, não estejam em vagões adjacentes
• Armadilha típica: tratar as agentes como itens idênticos e esquecer de multiplicar pela permutação entre elas, ou aplicar a restrição de não adjacência usando um arranjo comum (que não elimina vizinhanças).
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio da técnica de contar subconjuntos de posições sem elementos consecutivos, combinada com a organização de pessoas distintas nessas posições.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Combinação simples (C): escolhe k elementos entre n, sem considerar a ordem — usada quando os "lugares" selecionados ainda não têm dono definido.
• Permutação simples (k!): reorganiza k elementos distintos entre si — usada quando as agentes, sendo pessoas diferentes, precisam ser alocadas às posições já escolhidas.
• Método das lacunas: para escolher k elementos não consecutivos entre n dispostos em fila, o número de subconjuntos possíveis é C(n − k + 1, k).
• Princípio multiplicativo: etapas sucessivas de um mesmo processo de contagem (escolher os vagões e depois organizar as agentes) se combinam por multiplicação, nunca por soma.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "distribuídas entre os 6 vagões" → há 6 posições disponíveis, das quais 3 serão ocupadas.
• Evidência 2: "duas dessas agentes não estejam em vagões adjacentes" → nenhum par de vagões escolhidos pode ser consecutivo.
• Evidência 3: "três agentes mulheres" → são pessoas distintas, não itens idênticos; após definir quais 3 vagões serão usados, é preciso contar as formas de organizar essas três pessoas entre eles.
• Síntese: o problema se resolve em duas etapas encadeadas — (1) escolher, entre os 6 vagões, um trio sem adjacência; (2) distribuir as 3 agentes distintas nesse trio já escolhido. As duas etapas se multiplicam.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Contando os trios de vagões não adjacentes (método das lacunas)

Numere os vagões de 1 a 6. Buscamos trios a < b < c, com a condição de que não haja dois números consecutivos, ou seja, b ≥ a + 2 e c ≥ b + 2.

Fazendo a substituição a' = a, b' = b − 1, c' = c − 2, a condição de não adjacência desaparece: a', b', c' passam a ser 3 números distintos e livres, escolhidos entre 1 e 6 − 3 + 1 = 4. Logo, o número de trios de vagões sem adjacência é:

C(6 − 3 + 1, 3) = C(4, 3) = C₄³ = 4

Conferindo por enumeração direta, os únicos 4 trios possíveis são:

{1,3,5}; {1,3,6}; {1,4,6}; {2,4,6}

(qualquer outro trio, entre os C₆³ = 20 trios possíveis sem restrição, contém pelo menos dois vagões vizinhos).

Subpasso 4.2 — Distribuindo as 3 agentes distintas nos vagões escolhidos

Fixado um trio de vagões — por exemplo, {1,3,5} —, as 3 agentes (pessoas diferentes) podem ocupar essas 3 posições de 3! = 3 × 2 × 1 = 6 maneiras distintas (quem vai para o vagão 1, quem vai para o 3, quem vai para o 5, em todas as combinações de troca).

Como essa contagem de 6 permutações se repete igualmente para cada um dos C₄³ = 4 trios de vagões, pelo princípio multiplicativo o total de distribuições válidas é:

Total = C₄³ × 3!

Subpasso 4.3 — Verificação

C₄³ × 3! = 4 × 6 = 24

Verificação cruzada: sem restrição, existiriam A₆³ = C₆³ × 3! = 20 × 6 = 120 formas de distribuir as agentes. Como apenas 4 dos 20 trios de vagões não têm adjacência (1/5 dos casos), 120 × 1/5 = 24 — o mesmo valor de C₄³ × 3!, confirmando a expressão da alternativa III (opção C).

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) C₄³ + 3!

❌ Incorreta: usa adição em vez de multiplicação para juntar as duas etapas do processo. Etapas sucessivas de um mesmo processo de contagem ("escolher os vagões" e depois "organizar as agentes") sempre se combinam pelo princípio multiplicativo; a soma só seria usada para situações alternativas e excludentes ("ou uma coisa, ou outra"), o que não é o caso aqui.

B) C₆³

❌ Incorreta: essa expressão apenas escolhe 3 vagões entre os 6 disponíveis, sem qualquer restrição de não adjacência (conta também trios com vagões vizinhos, como {1,2,3}), e ainda ignora que as 3 agentes são pessoas distintas — trata a distribuição como se a ordem entre elas não importasse.

C) C₄³ × 3!

✅ Correta: aplica o método das lacunas para restringir a escolha a trios de vagões sem adjacência (C₄³ = C(6−3+1,3) = 4 possibilidades) e, em seguida, multiplica pelas 3! = 6 formas de organizar as 3 agentes distintas nesses vagões, totalizando 24 distribuições válidas — coerente com a restrição do enunciado e com a distinguibilidade das agentes.

D) A₆³

❌ Incorreta: calcula o arranjo simples de 3 agentes em 6 vagões (6 × 5 × 4 = 120), isto é, todas as distribuições possíveis das agentes nos vagões, sem impor nenhuma restrição de adjacência — ignora completamente a condição central do enunciado.

E) A₄³ × 3!

❌ Incorreta: mistura, de forma redundante, um arranjo (que já leva a ordem em conta) com uma nova multiplicação por 3!, contando a permutação das agentes duas vezes. A etapa de escolha dos vagões deve usar combinação (C₄³, sem ordem), reservando o fator 3! exclusivamente para a etapa de organizar as agentes distintas.

🏆 Gabarito: C — a expressão C₄³ × 3! representa corretamente as duas etapas do processo: primeiro escolher, entre os 6 vagões, os 3 que não são adjacentes entre si (C₄³, pelo método das lacunas), depois distribuir as 3 agentes distintas nesses vagões já escolhidos (3!).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: C é a única alternativa que une corretamente uma combinação restrita (para escolher posições não adjacentes) com uma permutação (para distribuir elementos distintos nessas posições), respeitando ao mesmo tempo a restrição do enunciado e a distinguibilidade das agentes.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma explorar contagem com restrições de posição (elementos não vizinhos, elementos que devem ficar juntos, alternância entre tipos) pedindo a expressão que representa a contagem, e não o valor numérico final — o foco é testar se o aluno entende a lógica de montagem da fórmula, não apenas se sabe calcular.
• Generalização: sempre que o problema pedir para escolher k posições não adjacentes entre n posições em fila, use C(n − k + 1, k); se os elementos que ocuparão essas posições forem distintos (pessoas, objetos numerados etc.), multiplique ainda por k! para contar as trocas de ordem entre eles.
• Dica de eliminação rápida: primeiro pergunte se a ordem importa — como as agentes são pessoas diferentes, a resposta é sim, então a expressão precisa conter um fator de permutação isolado (isso já elimina B). Em seguida, verifique se a operação entre as duas etapas é multiplicação, não soma (elimina A). Por fim, desconfie de expressões só com arranjo (A₆³, que ignora a restrição) ou que dupliquem a contagem de ordem (A₄³ × 3!).
• Conexões: a mesma lógica aparece em problemas de "organizar pessoas em fila sem que duas específicas fiquem juntas" (resolvido por complementar: total menos os casos juntos) e em contagem de "distribuição de objetos idênticos em compartimentos com vagas mínimas", que também usa a ideia de deslocar variáveis para eliminar uma restrição (técnica das lacunas/folgas).