Questão 149 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Razão entre grandezas e sistemas de equações do 1º grau
• ⚡ Nível: Médio — exige traduzir um enunciado com duas situações (antes e depois da prorrogação) em duas equações e resolvê-las de forma coordenada.
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de problemas do cotidiano por meio de razão e sistema linear de duas equações e duas incógnitas.
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantos candidatos não foram aprovados no concurso, sabendo que o número de vagas é fixo e que a razão candidatos/vagas mudou de 300 para 400 após a prorrogação?"
• Palavras-chave decisivas: razão, prorrogadas (mais 4 000 candidatos), aprovados = vagas
• Armadilha típica: usar o total de candidatos antes da prorrogação (12 000) para calcular os reprovados, esquecendo que todos os inscritos — inclusive os 4 000 que entraram depois — fizeram a prova.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar duas equações a partir das duas razões informadas, resolver o sistema para achar o número de vagas, obter o total final de candidatos e só então subtrair os aprovados (que equivalem às vagas).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Razão entre grandezas: é o quociente entre duas quantidades de naturezas relacionadas; aqui, candidatos ÷ vagas indica quantos candidatos disputam cada vaga.
• Sistema de equações do 1º grau: conjunto de equações que compartilham as mesmas incógnitas e deve ser satisfeito simultaneamente; resolve-se por substituição ou eliminação.
• Leitura de enunciado em "dois momentos": problemas que descrevem uma situação inicial e uma situação modificada exigem nomear cada momento com sua própria equação, usando a mesma variável para o que permanece fixo (aqui, o número de vagas).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "a razão entre o número de candidatos e o número de vagas... era igual a 300" → primeira equação: candidatos ÷ vagas = 300, ou seja, C = 300V.
• Evidência 2: "inscrevendo-se mais 4 000 candidatos, fazendo com que a razão... passasse a ser igual a 400" → segunda equação, com o mesmo número de vagas (fixo): (C + 4 000) = 400V.
• Evidência 3: "o total de candidatos aprovados foi igual à quantidade de vagas" → aprovados = V; logo, reprovados = (total final de candidatos) − V.
• Síntese: as duas primeiras evidências formam um sistema linear que revela o número de vagas (V) e o número original de candidatos (C). A terceira evidência conecta esse resultado ao que a pergunta realmente quer: quantos, do total final de inscritos, não ocuparam vaga.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montagem do sistema de equações

Sejam C o número de candidatos inscritos originalmente e V o número de vagas (fixo do início ao fim).

• Situação inicial: C/V = 300 → C = 300V (i)
• Situação após a prorrogação: (C + 4 000)/V = 400 → C + 4 000 = 400V (ii)

Subpasso 4.2 — Resolução do sistema por substituição

Substituindo (i) em (ii):

300V + 4 000 = 400V

4 000 = 400V − 300V

4 000 = 100V

V = 40 vagas

Voltando em (i): C = 300 × 40 = 12 000 candidatos (número de inscritos antes da prorrogação).

Subpasso 4.3 — Total final de candidatos e cálculo dos reprovados

Como as inscrições foram prorrogadas com mais 4 000 candidatos, o total de pessoas que efetivamente fez a prova foi:

Total = C + 4 000 = 12 000 + 4 000 = 16 000 candidatos

Os aprovados equivalem exatamente ao número de vagas: aprovados = V = 40.

Logo, os reprovados são:

Reprovados = Total − Aprovados = 16 000 − 40 = 15 960

Verificação: a razão final deve ser 400. Conferindo: 16 000 ÷ 40 = 400 ✓. O valor de V = 40 também satisfaz a equação original (300 × 40 = 12 000 ✓). Os dois vínculos do enunciado se confirmam, então o resultado 15 960 é consistente.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 11 960

❌ Incorreta: resulta de usar o número de candidatos antes da prorrogação (12 000) menos as vagas corretas (40), ou seja, 12 000 − 40 = 11 960. Esse erro ignora que os 4 000 candidatos que se inscreveram depois também fizeram a prova e, portanto, também podem ter sido reprovados.

B) 11 970

❌ Incorreta: combina dois erros — usar o total de candidatos antigo (12 000, sem somar os 4 000 da prorrogação) e um valor de vagas calculado incorretamente (V = 30 em vez de 40, por deslize na divisão 4 000 ÷ 100). O resultado 12 000 − 30 = 11 970 acumula as duas falhas.

C) 15 960 ✅

✅ Correta: é o resultado obtido ao resolver corretamente o sistema (V = 40 vagas, C = 12 000 candidatos originais), somar os 4 000 candidatos da prorrogação para obter o total real de 16 000 provas realizadas, e subtrair os 40 aprovados, chegando a 15 960 reprovados.

D) 15 970

❌ Incorreta: usa o total final correto (16 000 candidatos), mas com um valor de vagas errado (V = 30 em vez de 40), fruto de um erro aritmético na resolução do sistema. O cálculo 16 000 − 30 = 15 970 erra apenas no número de vagas, mostrando a importância de conferir o resultado do sistema antes de prosseguir.

E) 19 960

❌ Incorreta: surge de contar os 4 000 candidatos da prorrogação em dobro no total final (como se o total fosse C + 4 000 + 4 000 = 20 000, em vez de C + 4 000 = 16 000), e então subtrair corretamente as 40 vagas: 20 000 − 40 = 19 960. O erro está em somar novamente uma informação que já havia sido usada para montar a segunda equação do sistema.

🏆 Gabarito: C — o sistema de equações formado pelas duas razões (C = 300V e C + 4 000 = 400V) leva a V = 40 vagas e C = 12 000 candidatos originais; somando os 4 000 novos inscritos, chega-se a 16 000 candidatos no total, dos quais 40 foram aprovados, restando 15 960 reprovados.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a única forma de conciliar as duas razões informadas (300 antes e 400 depois da prorrogação) com o acréscimo de exatamente 4 000 candidatos é V = 40 e C = 12 000; daí decorre, sem margem de erro, que os reprovados somam 15 960.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorre com frequência a problemas em que uma razão ou proporção muda de um "momento 1" para um "momento 2" por causa de um acréscimo ou decréscimo conhecido — a chave é sempre montar duas equações e manter fixa a grandeza que o enunciado diz não mudar (aqui, o número de vagas).
• Generalização: sempre que o enunciado apresentar "razão antes = valor A" e "razão depois = valor B", com uma quantidade constante (vagas, capacidade, etc.) e outra variável (candidatos, litros, pessoas), escreva as duas equações em função da grandeza fixa e resolva por substituição — isso evita confundir os totais de cada etapa.
• Dica de eliminação rápida: calcule mentalmente o total final de candidatos (12 000 + 4 000 = 16 000) e o número de vagas (40); qualquer alternativa que não seja "total final menos vagas corretas" (16 000 − 40) pode ser descartada em segundos — isso já elimina A, B, D e E.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em problemas de razão entre concentração e volume (misturas), e em questões de proporcionalidade direta envolvendo dois cenários sucessivos, como preço/quantidade antes e depois de um reajuste.