Questão 177 — ENEM 2020 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções (função afim aplicada a custos) e resolução de problemas com dados em tabela
• ⚡ Nível: Fácil — exige apenas montar uma expressão de custo total e comparar cinco valores numéricos, sem manipulação algébrica complexa
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de situações reais por meio de função afim (custo fixo + custo variável) — competência de área 5 do ENEM (construir noções de variação e proporcionalidade para interpretar situações-problema)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre cinco hotéis com diária e distância diferentes, qual tem o menor custo total (diária + corrida de táxi até ele)?"
• Palavras-chave decisivas: menor custo, diária mais a locomoção, R$ 2,50 por quilômetro mais taxa fixa de R$ 6,00
• Armadilha típica: escolher o hotel só pela diária mais barata (H1) ou só pela distância mais curta (H4 por coincidência acerta, mas H5 é a mais próxima e engana quem julga só pela proximidade), ignorando que o custo total é a soma de dois fatores que variam em direções opostas
• O que a resposta precisa demonstrar: o cálculo completo do custo de táxi (fixo + variável) somado à diária, para cada uma das cinco opções, e a identificação correta do menor valor entre os cinco totais

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim (custo do táxi): o valor da corrida não depende só da distância — existe uma parte fixa (bandeirada/taxa, R$ 6,00) que é cobrada independentemente do trajeto, somada a uma parte variável, proporcional à distância percorrida (R$ 2,50 por km). Matematicamente, C(d) = 6 + 2,5d, em que d é a distância em quilômetros.
• Custo total como soma de duas grandezas: o problema pede o "custo composto pelo valor da diária mais a locomoção de táxi". Isso significa que, para cada hotel, é preciso somar um valor fixo (a diária, que não depende da distância) a um valor que depende da distância (o táxi).
• Comparação de alternativas por cálculo direto: como são apenas cinco opções com dados numéricos definidos, o método mais seguro e rápido é calcular o custo total de cada uma e compará-las lado a lado — não há atalho algébrico que substitua esse cálculo, pois diária e distância variam de forma independente entre os hotéis.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "o recepcionista apresentou-lhe algumas opções de hotéis com diárias mais baratas, mas localizados a certa distância desse hotel" → revela que existe um trade-off: quanto mais barata a diária, potencialmente maior a distância (e vice-versa), então nenhuma das duas variáveis isoladas decide a questão.
• Evidência 2: "um táxi que cobra R$ 2,50 por quilômetro rodado mais taxa fixa de R$ 6,00" → define exatamente a função de custo do transporte: C(d) = 6 + 2,5·d, com taxa fixa somada à parte proporcional à distância.
• Evidência 3: "Sua escolha será em função do menor custo, composto pelo valor da diária mais a locomoção de táxi" → deixa explícito o critério de decisão: Custo Total = Diária + C(d), e o hotel vencedor é o que minimiza essa soma, não a diária isolada nem a distância isolada.
• Síntese: a questão é, no fundo, um problema de otimização simples: calcular, para cada um dos cinco hotéis, o valor de Diária + (6 + 2,5 × distância) e escolher o menor resultado entre os cinco.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a fórmula do custo total

Para qualquer hotel, o custo total (CT) que a pessoa paga é:

CT = Diária + Taxa fixa do táxi + (Valor por km × Distância)

CT = Diária + 6 + 2,5 × d

Essa fórmula será aplicada às cinco opções apresentadas na tabela do enunciado.

Subpasso 4.2 — Calcular o custo total de cada hotel

H1 (diária R$ 180,00; distância 7 km):

CT₁ = 180 + 6 + 2,5 × 7 = 180 + 6 + 17,50 = R$ 203,50

H2 (diária R$ 200,00; distância 1,6 km):

CT₂ = 200 + 6 + 2,5 × 1,6 = 200 + 6 + 4,00 = R$ 210,00

H3 (diária R$ 199,00; distância 4,5 km):

CT₃ = 199 + 6 + 2,5 × 4,5 = 199 + 6 + 11,25 = R$ 216,25

H4 (diária R$ 190,00; distância 1,5 km):

CT₄ = 190 + 6 + 2,5 × 1,5 = 190 + 6 + 3,75 = R$ 199,75

H5 (diária R$ 205,00; distância 1,2 km):

CT₅ = 205 + 6 + 2,5 × 1,2 = 205 + 6 + 3,00 = R$ 214,00

Subpasso 4.3 — Verificação: comparar os cinco totais

Organizando os resultados em ordem crescente de custo:

| Hotel | Diária | Distância | Táxi (6 + 2,5d) | Custo Total |

|---|---|---|---|---|

| H4 | R$ 190,00 | 1,5 km | R$ 9,75 | R$ 199,75 |

| H1 | R$ 180,00 | 7,0 km | R$ 23,50 | R$ 203,50 |

| H2 | R$ 200,00 | 1,6 km | R$ 10,00 | R$ 210,00 |

| H5 | R$ 205,00 | 1,2 km | R$ 9,00 | R$ 214,00 |

| H3 | R$ 199,00 | 4,5 km | R$ 17,25 | R$ 216,25 |

O menor custo total é R$ 199,75, correspondente ao hotel H4. Note que H1 tinha a diária mais barata (R$ 180,00), mas a distância grande (7 km) encareceu tanto o táxi que o custo final ficou maior que o de H4. Isso confirma que a resposta não podia ser obtida olhando só para a diária.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) H1.

❌ Incorreta: tem a diária mais barata (R$ 180,00), mas está a 7 km de distância — a mais longe de todas. O custo do táxi (R$ 23,50) é o maior entre as cinco opções, elevando o custo total para R$ 203,50, valor superior ao de H4. É a alternativa "armadilha" para quem decide olhando apenas o preço da diária.

B) H2.

❌ Incorreta: mesmo estando bem localizado (1,6 km), sua diária de R$ 200,00 já é alta o suficiente para que o custo total (R$ 210,00) supere o de H4. A proximidade não compensa o valor elevado da diária.

C) H3.

❌ Incorreta: apesar de ter a segunda diária mais barata (R$ 199,00), sua distância de 4,5 km gera um custo de táxi considerável (R$ 17,25), resultando no maior custo total entre todos os hotéis (R$ 216,25). É a pior escolha, combinando distância média-alta com diária apenas moderadamente baixa.

D) H4.

✅ Correta: com diária de R$ 190,00 e distância de apenas 1,5 km, o custo do táxi é baixo (R$ 9,75), resultando no menor custo total de todas as opções: R$ 199,75. É o único hotel que equilibra bem diária relativamente baixa com proximidade, vencendo a comparação direta.

E) H5.

❌ Incorreta: é o hotel mais próximo (1,2 km) e tem o menor custo de táxi (R$ 9,00) entre todos, mas sua diária de R$ 205,00 é a segunda mais cara, o que eleva o custo total para R$ 214,00 — bem acima do custo de H4. É a alternativa "armadilha" para quem decide olhando apenas a distância.

🏆 Gabarito: D — H4 é o único hotel cujo custo total (diária + táxi) é o menor entre as cinco opções, R$ 199,75, resultado de uma diária moderada combinada com curta distância.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente H4 minimiza a soma Diária + (6 + 2,5d); todos os outros hotéis perdem porque têm diária alta demais (H2, H5), distância longa demais (H1) ou uma combinação intermediária desfavorável (H3).
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente cobra problemas de "escolha ótima" em contextos de consumo (transporte por aplicativo, planos de telefonia, tarifas de água/luz, aluguel de carro), sempre usando a estrutura de função afim: custo = parte fixa + parte variável × quantidade.
• Generalização: sempre que houver um valor fixo somado a um valor proporcional a uma variável (distância, tempo, consumo), o custo total só pode ser comparado calculando cada caso numericamente — nunca decida olhando isoladamente para a parte fixa ou para a parte variável.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro o custo do deslocamento (taxa fixa + valor por km × distância) de cada opção — isso já elimina rapidamente as alternativas com distâncias muito grandes (como H1, que dispara o custo do táxi). Depois some à diária e compare apenas os dois ou três candidatos mais competitivos.
• Conexões: esse mesmo raciocínio aparece em questões sobre planos de celular (assinatura fixa + valor por minuto), tarifas de estacionamento (valor da primeira hora + valor por hora adicional) e problemas de programação linear que pedem o ponto de custo mínimo entre múltiplas opções lineares.